知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x-2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．

难度：较难

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2．（2015秋•如皋市期中）已知点F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，点A（m，2）在抛物线C上，且AF=2
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点G（-1，0），过点F的直线交抛物线于M、N两点，求证：∠MGF=∠NGF．

难度：较难

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
1
2
，直线y=x+1被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为
10
，抛物线D以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点．
（Ⅰ）求椭圆C与抛物线D的方程；
（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上两个不同点，且OA⊥OB，判定原点O到直线AB的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．

难度：较难

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4．设p＞0，抛物线方程为C：x²=2px．如图所示，过焦点F作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过点（0，-1）．
（1）求满足条件的抛物线方程；
（2）过点（0，-2）作抛物线C的切线，若切点在第二象限，求切线m的方程．

难度：较难

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5．已知抛物线C₁：y²=2px上一点M（3，y₀）到其焦点F的距离为4；椭圆C₂：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，且过抛物线的焦点F．
（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线l₁交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
=λ
AF
，
NB
=μ
BF
，求证：λ+μ为定值．
（Ⅲ）直线l₂交椭圆C₂于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为P′，Q′，
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
+1=0，若点S满足：
OS
=
OP
+
OQ
，证明：点S在椭圆C₂上．

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6．如图，已知圆O：x²+y²=a²（a＞0）过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，过点F且与圆O相切的直线被抛物线C截得的弦长为4
（1）求圆O和抛物线C的标准方程；
（2）若P为抛物线C在第一象限内的点，抛物线在点P处的切线y=kx+b（设为l₁）被圆O截得的弦长为
95
5
，直线l₂过点P且垂直直线l₁，设l₂与抛物线的另一交点为M，求弦PM的长．

难度：较难

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7．如图，设F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，P是抛物线上一定点，其坐为（x₀，y₀）（x₀≠0），Q为线段OF的垂直平分线上一点，且点Q到抛物线的准线l的距离为
3
2
．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点P任作两条斜率均存在的直线PA、PB，分别与抛物线交于点A、B，如图示，若直线AB的斜率为定值-
2
y0
，求证：直线PA、PB的倾斜角互补．

难度：较难

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8．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点F是双曲线：
3x2
5
-
3y2
7
=1的一个焦点；
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F任作直线l与曲线C交于A，B两点．
①求
OA
•
OB
的值；②由点A，B分别向（x-2）²+y²=1各引一条切线切点分别为P、Q，记α=∠AFP，β=∠BFQ，求cosα+cosβ的值．

难度：较难

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9．已知曲线C：x²=-2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y-1=0．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k₁、k₂，试探求k₁、k₂的关系，并证明你的结论．

难度：较难

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10．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与直线x-y+1=0相切，椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C₁的焦点F重合，且离心率为
2
2
，点M（a²，0）．
（1）求抛物线C₁与椭圆C₂的方程；
（2）若在椭圆C₂上存在两点A，B使得
FA
=λ
FB
（λ∈[-2，-1]），求|
MA
+
MB
|的最小值．

难度：较难

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