知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知双曲线$C$：$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的右顶点为$A$，$O$为坐标原点，以$A$为圆心的圆与双曲线$C$的某渐近线交于两点$P$，$Q$，若$∠PAQ=60^{\circ}$，且$ \overrightarrow{OQ}=3 \overrightarrow{OP}$，则双曲线$C$的离心率为$($　　$)$

A．$ \dfrac { \sqrt {7}}{4}$

B．$ \dfrac { \sqrt {7}}{3}$

C．$ \dfrac { \sqrt {7}}{2}$

D．$ \sqrt {7}$

难度：较难

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4．

已知点$P$为双曲线$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的右支上一点，$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线的左、右焦点，使 $( \overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OF_{2}})\cdot \overrightarrow{F_{2}P}=0(O$为坐标原点$)$，且$| \overrightarrow{PF_{1}}|= \sqrt {3}| \overrightarrow{PF_{2}}|$，则双曲线离心率为$($　　$)$

A．$ \dfrac { \sqrt {6}+1}{2}$

B．$ \sqrt {6}+1$

C．$ \dfrac { \sqrt {3}+1}{2}$

D．$ \sqrt {3}+1$

难度：较难

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5．
已知双曲线$C$的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线$y^{2}=8x$的焦点重合，一条渐近线方程为$x+y=0$，则双曲线$C$的方程是______．

难度：较难

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6．

设点$A$，$F(c,0)$分别是双曲线$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的右顶点、右焦点，直线$x= \dfrac {a^{2}}{c}$交该双曲线的一条渐近线于点$P$，若$\triangle PAF$是等腰三角形，则此双曲线的离心率为$($　　$)$

A．$ \sqrt {3}$

B．$3$

C．$ \sqrt {2}$

D．$2$

难度：较难

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7．

设$F_{1}$，$F_{2}$是双曲线$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点$P$，使$( \overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OF_{2}})⋅ \overrightarrow{F_{2}P}=0(O$为坐标原点$)$，且$|PF_{1}|= \sqrt {3}|PF_{2}|$，则双曲线的离心率为$($　　$)$

A．$ \dfrac { \sqrt {2}+1}{2}$

B．$ \sqrt {2}+1$

C．$ \dfrac { \sqrt {3}+1}{2}$

D．$ \sqrt {3}+1$

难度：较难

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8．
已知双曲线方程为$16y^{2}-9x^{2}=144$．
$(1)$求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；
$(2)$若抛物线$C$的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线$C$的方程．

难度：较难

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9．如图，M(-2，0)和N(2，0)是平面上的两点，动点P满足：||PM|-|PN||=2．
(Ⅰ)求点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设d为点P到直线l： $x%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的距离，若|PM|=2|PN|²，求 $%20%5Cfrac%20%7B%7CPM%7C%7D%7Bd%7D$ 的值．

难度：较难

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10．设双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-y%5E%7B2%7D$ =1(a＞0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．
(Ⅰ)求双曲线C的离心率e的取值范围：
(Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPA%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B12%7D%20%5Coverrightarrow%20%7BPB%7D$ ．求a的值．

难度：较难

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