知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．（2015秋•大庆校级期中）如图所示，曲线C由部分椭圆C₁：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C₂：y=-x²+1（y≤0）连接而成，C₁与C₂的公共点为A，B，其中C₁所在椭圆的离心率为
2
2
，
（1）求a，b的值；
（2）过点B的直线l与C₁，C₂分别交于点P，Q（P，Q，A，B中任意两点均不重合），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

难度：较难

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2．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x-2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．

难度：较难

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3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M（1，
2
2
），离心率e=
2
2
，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设圆T的圆心T（0，t）在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点．点P为椭圆C上的一动点，PQ与圆T相切于点Q．
①当Q（-
1
2
，-
1
2
）时，求直线PQ的方程；
②当PQ取得最大值为
5
2
时，求圆T方程．

难度：较难

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A₁A₂，左、右顶点分别为B₁，B₂为坐标原点，若直线A₁B₂的斜率为-
1
2
，△A₁OB₂的斜边上的中线长为
5
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P是椭圆C上异于A₁，A₂，B₁，B₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

难度：较难

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5．已知曲线C₁的极坐标方程是ρcos（θ+
π
4
）=2
2
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程是：
x=4t2
y=4t
(t是参数）．
（1）将曲线C₁和曲线C₂的方程转化为普通方程；
（2）若曲线C₁与曲线C₂相交于A、B两点，求证OA⊥OB；
（3）设直线y=kx+b与曲线C₂交于两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0且a为常数），过弦PQ的中点M作平行于x轴的直线交曲线C₂于点D，求证：△PQD的面积是定值．

难度：较难

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6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，|BC|=4，|AC|=3，一曲线E过点A，动点P在曲线E运动，且保持|PC|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）若直线l交曲线E于M、N两点，曲线E与y轴正半轴交于Q点，且△QMN的重心恰好为B点，求线段MN中点的坐标；
（3）以V（-6，-6）为圆心的圆与曲线E交于R、S两点，求RS中点T的轨迹方程．

难度：较难

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7．已知点P是椭圆16x²+25y²=1600上一点，且在x轴上方，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，直线PF₂的斜率为-4

，则△PF₁F₂的面积为（　　）

A．32

B．24

C．32

D．24

难度：较难

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8．椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）的焦距为2c，直线l过点（b，0）和（0，c）
（1）若b=2，c=3，求此椭圆的准线方程；
（2）若点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和为s≥
4
5
a，求椭圆的离心率e的取值范围．

难度：较难

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9．设F₁、F₂分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，
3
2
）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程；
（3）若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时．求证：k_PM•k_PN是与点P位置无关的定值．

难度：较难

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10．已知椭圆C：
x2
25
+
y2
9
=1，直线l与椭圆C交于A，B两不同的点．P为弦AB的中点．
（1）若直线l的斜率为
4
5
，求点P的轨迹方程．
（2）是否存在直线l，使得弦AB恰好被点(
4
3
，-
3
5
)平分？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

难度：较难

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