知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在△ABC中，AC=1，BC=
2
，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧），当∠C变化时，线段CD长的最大值为．

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2．已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求直线AC与平面CBE所成角正弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小．

难度：较难

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3．如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面A₁B₁C₁，四边形AA₁B₁B是矩形，A₁C₁=A₁B₁，∠B₁A₁C₁=120°，BC∥B₁C₁，B₁C₁=2BC．
（1）求证：A₁C⊥B₁C₁；
（2）当二面角C-AC₁-B₁的正切值为2时，求
AA1
A1B1
的值．

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4．如图，设四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=
2
a点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
（1）求证：对任意的λ∈（0，2]，都有AC⊥BE；
（2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若cosθ=sinφ，求λ的值．

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5．在大小为60°的二面角α-1-β中，已知AB⊂α，CD⊂β，且AB⊥l于B，CD⊥l于D，若AB=CD=1，BD=2，则AC的长为．

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6．等边三角形ABC的边长为3，点D，、E分别是边AB、AC上的点，且满足
AD
DB
=
CE
EA
=
1
2
．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，连接A₁B、A₁C．

（1）求证：A₁D⊥平面BCED；
（2）求A₁E与平面A₁BC所成角的正弦值．
（3）在线段BC上是否存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

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7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=
2
，PA=PD=
5
，AD=2，BD=
3
．E、F分别是棱AD，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）求二面角P-AD-B的大小；
（3）证明BE⊥平面PBC．

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8．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都为a，P为A₁B上的点．
（1）试确定
A1P
PB
的值，使得PC⊥AB；
（2在直线A₁B上找一点P使二面角P-AC-B的大小为60°，求
A1P
PB
的值；
（3）在（2）条件下，求C₁到平面PAC的距离．

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9．（2012秋•温州期末）如图，将∠B=
π
3
，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B-AC-D，若θ∈[
π
3
，
2π
3
]，M、N分别为AC、BD的中点，则下面的四种说法：
①AC⊥MN；
②DM与平面ABC所成的角是θ；
③线段MN的最大值是
3
4
，最小值是
3
4
；
④当θ=
π
2
时，BC与AD所成的角等于
π
2
．
其中正确的说法有（填上所有正确说法的序号）．

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10．（2012•武鸣县校级二模）如图，在120°二面角α-l-β内半径为1的圆O₁与半径为2的圆O₂分别在半平面α、β内，且与棱l切于同一点P，则以圆O₁与圆f（x）=2sin（ωx-
π
6
）sin（ωx+
π
3
）为截面的球的表面积等于．

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