知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$D$，$E$分别是$AB$、$BB_{1}$的中点，$AB=BC$．
$(1)$证明：$BC_{1}/\!/$平面$A_{1}CD$；
$(2)$平面$A_{1}EC⊥$平面$ACC_{1}A_{1}$．

难度：较难

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2．
如图，$AB$为圆$O$的直径，点$E$、$F$在圆$O$上，$AB/\!/EF$，矩形$ABCD$所在的平面和圆$O$所在的平面互相垂直，且$AB=2$，$AD=EF=1$．
$(1)$求证：$AF⊥$平面$CBF$；
$(2)$设平面$CBF$将几何体$EFABCD$分成的两个锥体的体积分别为$V_{F-ABCD}$，$V_{F-CBE}$，求$V_{F-ABCD}$：$V_{F-CBE}$．

难度：较难

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3．
如图，在四棱锥$A-BCDE$中，$AC⊥$平面$BCDE$，$∠CDE=∠CBE=90^{\circ}$，$BC=CD=2$，$DE=BE=1$，$AC= \sqrt {2}$，$M$为$AE$的中点．
$(1)$求证：$BD⊥$平面$AEC$；
$(2)$求直线$MB$与平面$AEC$所成角的正弦值．

难度：较难

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4．
如图，在棱长均为$1$的直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$D$是$BC$的中点．
$(1)$求证：$AD⊥$平面$BCC_{1}B_{1}$；
$(2)$求点$C$到平面$AC_{1}D$的距离．

难度：较难

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5．
如图，四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为矩形，$PA⊥$平面$ABCD$，$E$为$PD$的中点．
$($Ⅰ$)$证明：$PB/\!/$平面$AEC$；
$($Ⅱ$)$设$AP=1$，$AD= \sqrt {3}$，三棱锥$P-ABD$的体积$V= \dfrac { \sqrt {3}}{4}$，求$A$到平面$PBC$的距离．

难度：较难

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6．
如图，四棱锥$P-ABCD$中，$PA⊥$底面$ABCD$，$AD/\!/BC$，$AB=AD=AC=3$，$PA=BC=4$，$M$为线段$AD$上一点，$AM=2MD$，$N$为$PC$的中点．
$(1)$证明：$MN/\!/$平面$PAB$；
$(2)$求直线$AN$与平面$PMN$所成角的正弦值．

难度：较难

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7．
如图，在四棱锥$P-ABCD$中，平面$PAD⊥$平面$ABCD$，$PA⊥PD$，$PA=PD$，$AB⊥AD$，$AB=1$，$AD=2$，$AC=CD= \sqrt {5}$．
$(1)$求证：$PD⊥$平面$PAB$；
$(2)$求四面体$PACD$的体积．

难度：较难

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8．
如图，四棱锥$P-ABCD$的底面$ABCD$是菱形，$∠BCD=60^{\circ}$，$PA⊥$面$ABCD$，$E$ 是$AB$的中点，$F$是$PC$的中点．
$($Ⅰ$)$求证：$DE⊥$面$PAB$
$($Ⅱ$)$求证：$BF/\!/$面$PDE$．

难度：较难

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9．如图，三棱锥S-ABC，E、F分别在线段AB、AC上，EF∥BC，△ABC、△SEF均是等边三角形，且平面SEF⊥平面ABC，若BC=4，EF=a，O为EF的中点．
（Ⅰ）当a= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ 时，求三棱锥S-ABC的体积．
（Ⅱ）a为何值时，BE⊥平面SCO．

难度：较难

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10．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，P为AB的中点，Q为CD₁的中点．
（1）求证：DP⊥平面A₁ABB₁；
（2）求证：PQ∥平面ADD₁A₁．
（3）若E为CC₁的中点，能否在CP上找一点F，使得EF∥面DPQ？并给出证明过程．

难度：较难

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