在\(∆ABC \)中，\(\left| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}\right|=\left| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}\right| \)，\(AB=4\)，\(AC=3\)，则\(\overrightarrow{BC} \)在\(\overrightarrow{CA} \)方向上的投影是\((\)   \()\)

\((1)\)求\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\) ；

\((2)\)在\(\Delta ABC\)，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\) ，求\(BC\)边的长度和\(\overrightarrow{AB}\) 在\(\overrightarrow{AC}\) 上的投影．

已知在正方形\(ABCD\)中，\(\overset{⇀}{AE}= \dfrac{1}{2} \overset{⇀}{AB} \)，\(\overset{⇀}{AF}= \dfrac{1}{4} \overset{⇀}{AD} \)，则\(\overset{⇀}{CE} \)在\(\overset{⇀}{CF} \)方向上的投影为\((\)   \()\)

已知点\(A(-1,1)\)，\(B(1,2)\)，\(C(-2,-1)\)，\(D(3,4)\)，则向量\(\overrightarrow{CD}\)在\(\overrightarrow{BA}\)方向上的投影是\((\)　　\()\)

已知向量\(\overrightarrow{a}=(-1,2),\overrightarrow{b}=(3,4)\)．

\((I)\)若\(\left(2 \overset{⇀}{a}- \overset{⇀}{b}\right)/\!/\left( \overset{⇀}{a}+k \overset{⇀}{b}\right) \)，求实数\(k\)的值； 

\((II)\)若向量\(\lambda \overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow{b}\)方向上的投影为\(1\)，求实数\(\lambda \)的值．

若锐角\(α\)、\(β\)满足\((1+ \sqrt{3} \)\(\tan \)\(α)(1+ \sqrt{3} \)\(\tan \)\(β)=4\)，则\(α+β= \)______．

已知\(2 \overset{→}{a} - \overset{→}{b} =(-1, \sqrt{3} )\)，\( \overset{→}{c} =(1, \sqrt{3} )\)且\( \overset{→}{a} · \overset{→}{c} =3\)，\(| \overset{→}{b} |=4\)，则\( \overset{→}{b} \)与\( \overset{→}{c} \)的夹角为 ______．

已知\(x\)\(∈R\)，向量\( \overset{→}{AB} =(-1,x+2)\)，\( \overset{→}{CD} =(x,1)\)，则在\( \overset{→}{AB} \)方向上的投影的最大值为 ______．

其中正确的结论序号为 ______．

\((1) \overset{⇀}{a} =(\)\(x\)\(-1\)，\(y\)\()\)，\( \overset{⇀}{b} =(1,2)\)，且\(\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\)，则当\(x > 0,y > 0\)时，\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)的最小值为 ______．

\((2)\)向量\(\overrightarrow{a}=\left( 2,3 \right)\)在\(\overrightarrow{b}=\left( -4,7 \right)\)上的投影是 ______．

\((3)\)若等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}+{{a}_{3}}=20\)，\({{a}_{2}}+{{a}_{4}}=40\)，则公比\(q=\) ______\(..\)

\((4)\)已知\(m,n,p\)表示不重合的三条直线，表示不重合的三个平面\(.\)给出以下四个命题

其中正确命题的序号是          \((\)把所有正确命题的序号都写上\()\) 

设\(O\)为坐标原点，\(M(2,1)\)，点\(N(x,y)\)满足\(\begin{cases} & x-4y\leqslant -3 \\ & 3x+5y\leqslant 25 \\ & x\geqslant 1 \end{cases}\)，则\(\overrightarrow{ON}\)在\(\overrightarrow{OM}\)上的投影最大值是______．

\((1)\)已知点\(P(x,y)\)满足条件\(\begin{cases} & x-y-2\leqslant 0 \\ & x+2y-5\geqslant 0 \\ & y-a\leqslant 0 \end{cases}\) 点\(A(2,1)\)，\(O\)为坐标原点，且\(|\overrightarrow{OP}|\cos \angle AOP\)的最大值为\(2\sqrt{5}\)，则\(a\)的值为__________\(.\) 

\((2)\)意大利数学家列昂纳多\(·\)斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(5\)，\(8\)，，\(21\)，\(34\)，\(55\)，\(…\)，即\(F(1)=F(2)=1\)，\(F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n\;\geqslant 3,n∈{N}^{*}) \)此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用。若此数列被\(3\)除后的余数构成一个新数列\(\{{b}_{n}\} \)，则数列\(\{{b}_{n}\} \)的前\(2017\)项和为_______。   

\((3)\)已知函数\(f(x)\)是\(R\)上的单调函数，且对任意实数\(x\)都有\(f\left( f\left( x \right)+\dfrac{2}{{{2}^{x}}+1} \right)=\dfrac{1}{3}\)，则\(f({{\log }_{2}}3)=\)____________\(.\)  

\((4)\)已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分别为\(\triangle ABC\)的内角\(A\)、\(B\)、\(C\)的对边，\(BC\)边上的高为\( \dfrac{1}{2}a \)，则\( \dfrac{c}{b} \)的最大值为________。