知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=
1 4
2 3

（1）求A的逆矩阵A^-1；
（2）求A的特征值及对应的特征向量．

难度：较难

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2．已知二阶矩阵M=
a 1
3 b
的特征值λ=-1所对应的一个特征向量
e1
=
1
-3
．
（1）求矩阵M；
（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C′的方程为xy=1，求曲线C的方程．

难度：较难

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3．已知矩阵A=（
3
2

a
b
）的两个特征值为6和1，
（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）求矩阵A^-1．

难度：较难

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4．已知二阶矩阵M有特征值λ₁=4及属于特征值4的一个特征向量e₁=
2
3
，并有特征值λ₂=-1及属于特征值-1的一个特征向量e₂=
1
-1
，
（1）求矩阵M；
（2）求M^-1．

难度：较难

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5．已知矩阵M=
1 -2
-2 1
，a=
3
1
．
（1）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（2）求矩阵M的特征值和特征向量；
（3）试计算M²⁰a；．

难度：较难

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6．已知
α
=
2
1
为矩阵A=
1 a
-1 4
属于特征值λ的一个特征向量．
（Ⅰ）求实数a，λ的值；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵A^-1．

难度：较难

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7．如图，矩形OABC和平行四边形OA₁B₁C₁的部分顶点坐标为：A（-1，0），B（-1，2），A₁（
1
2
，1），C₁（2，0）．
（Ⅰ）求将矩形OABC变为平行四边形OA₁B₁C₁的线性变换对应的矩阵M；
（Ⅱ）矩阵M是否存在特征值？若存在，求出矩阵M的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．设矩阵A=MN，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．其中 M=
1
1
2
4
，N=
1
-1
2
1
．

难度：较难

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9．已知二阶矩阵A=[
a b
c d
]，矩阵A属于特征值λ₁=-1的一个特征向量为a₁=[
1
-1
]，属于特征值λ₂=4的一个特征向量为a₁=[
3
2
]．求矩阵A．

难度：较难

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10．已知矩阵M=
2 0
1 1
：
（1）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（2）求矩阵M的特征值及相应的特征向量．

难度：较难

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