知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知圆x²+y²=1在矩阵M=
a 0
0 b
（a＞0，b＞0）对应的变换作用下得到椭圆x²+4y²=1，求矩阵M的特征值和特征向量．

难度：较难

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2．已知：矩阵A=
a 1
1 2
，B=
2
3
b
-
1
3

2
3

（Ⅰ）若a=2，求矩阵A的特征值和特征向量；
（Ⅱ）若矩阵A与矩阵B为互逆矩阵，求a，b．

难度：较难

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3．（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=
a 2
1 b
有一个属于特征值1的特征向量
a
=
2
-1
，
①求矩阵A；
②已知矩阵B=
1 -1
0 1
，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O′M′N′的面积．

难度：较难

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4．已知矩阵M=
1 b
c 2
有特征值λ₁=4及对应的一个特征向量
e1
=
2′
3′
．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲线方程．

难度：较难

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5．已知矩阵A=
3 3
c d
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
3
-2
．
（1）求矩阵A；
（2）判断矩阵A是否可逆，若可逆求出其逆矩阵．

难度：较难

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6．（“选修4-2矩阵与变换”）
已知y=f（x）的图象（如图1）经A=
.
a b
c d
.
作用后变换为曲线C（如图2）．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值．

难度：较难

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7．（选修4-2：矩阵与变换）
矩阵
3 3
2 4
，向量
β
=
6
8
，
（Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；
（Ⅱ）求向量
α
，使得A2
α
=
β
．

难度：较难

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8．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
1 2
3 4
．
①求矩阵A的逆矩阵B；
②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x，求直线l的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．圆C的参数方程为
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
（a为参数），点Q极坐标为（2，
7
4
π）．
（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；
（Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P、Q两点距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
（I）关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范围．
（II）设x，y，z∈R，且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1，求x+y+z的取值范围．

难度：较难

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9．若矩阵A有特征向量i=（

1
0
）和j=（

0
1
），且它们所对应的特征值分别为λ₁=2，λ₂=-1．
（1）求矩阵A及其逆矩阵A^-1；
（2）求逆矩阵A^-1的特征值及特征向量；
（3）对任意向量α=（

x
y
），求（（A^-1）²⁰α．

难度：较难

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10．求矩阵M=
-1 2
5
2
3
的特征值和特征向量．

难度：较难

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