知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b，c∈R，a²+b²+c²=1．
（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤
3
；
（Ⅱ）若不等式|x-1|+|x+1|≥（a+b+c）²对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

难度：较难

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2．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a²+b²+c²≥3．

难度：较难

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3．已知a，b为实数，证明：（a⁴+b⁴）（a²+b²）≥（a³+b³）²．

难度：较难

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4．已知a，b，c均为正数
（1）证明：a²+b²+c²+（
1
a
+
1
b
+
1
c
）²≥6
3
，并确定a，b，c如何取值时等号成立；
（2）若a+b+c=1，求
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值．

难度：较难

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5．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）^p＞1+px；
（Ⅱ）数列{a_n}满足a₁＞c
1
p
，a_n+1=
p-1
p
a_n+
c
p
a_n^1-p．证明：a_n＞a_n+1＞c
1
p
．

难度：较难

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6．已知x，y∈R，且|x+y|≤
1
6
，|x-y|≤
1
4
，求证：|x+5y|≤1．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f(
b
a
)．

难度：较难

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8．（1）设实数t＞0，求证：（1+
2
t
）ln（1+t）＞2
（2）从编号1到100的100张卡片中，每次随机地抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽20次，设抽得的20个号码各不相同的概率为p，求证：ρ＜
1
e2
．

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9．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，且f（a）=f（b），对于定义域内的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂）都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|
（1）设S=（x+y-3）²+（1-x）²+（6-2y-x）²，当且仅当x=a，y=b时，S取得最小值，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，证明：对任意x₁，x₂∈[a，b]，有|f（x₁）-f（x₂）|＜
5
6
成立．

难度：较难

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10．（选修4-5：不等式选讲）
（1）设a，b是非负实数，求证：a²+b²≥
ab
(a+b)
（2）求函数y=3
x-5
+4
6-x
的最大值．

难度：较难

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