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          共50条信息

            • 1．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，通项公式为\(a_{n}= \dfrac{1}{n}\)，且\(f(n)=\left\{\begin{matrix}S_{2n},n=1, \\ S_{2n}-S_{n-1},n\geqslant 2.\end{matrix}\right(\quad \quad)\)

              \((1)\)计算\(f(1)\)，\(f(2)\)，\(f(3)\)的值；

              \((2)\)比较\(f(n)\)与\(1\)的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

              难度：较难
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            • 2．

              已知\(f(n)=1+\dfrac{1}{{{2}^{3}}}+\dfrac{1}{{{3}^{3}}}+\dfrac{1}{{{4}^{3}}}\cdots +\dfrac{1}{{{n}^{3}}}\)，\(g(n)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2{{n}^{2}}}\)，\(n\in {{N}^{*}}\)．

              \((1)\)当\(n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\)时，试比较\(f(n)\)与\(g(n)\)的大小关系；

              \((2)\)猜想\(f(n)\)与\(g(n)\)的大小关系，并给出证明．

              难度：较难
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            • 3．

              已知\(f(n)=1+ \dfrac{1}{ \sqrt{2}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{3}}+···+ \dfrac{1}{ \sqrt{n}}(n∈{N}^{*}) \)，\(g(n)=2( \sqrt{n+1}-1)(n∈{N}^{*}) \)．

              \((1)\)当\(n=1\)，\(2\)，\(3\)时，分别比较\(f(n)\)与\(g(n)\)的大小\((\)直接给出结论\()\)；

              \((2)\)由\((1)\)猜想\(f(n)\)与\(g(n)\)的大小关系，并证明你的结论．

              难度：较难
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            • 4． 已知数列{an}满足an=n•2n-1（n∈N*）．是否存在等差数列{bn}，使得数列{an}与{bn}满足an=b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bnCnn对一切正整数n成立？证明你的结论．
              难度：较难
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            • 5． 已知数列{an}是等差数列，（1+
              x
              2
              ）m（m∈N*）展开式的前三项的系数分别为a1，a2，a3．
              （1）求（1+
              x
              2
              ）m（m∈N*）的展开式中二项式系数最大的项；
              （2）当n≥2（n∈N*）时，试猜测
              1
              an
              +
              1
              an+1
              +
              1
              an+2
              +…+
              1
              an2
              与
              1
              3
              的大小并证明．
              难度：较难
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            • 6． 在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N+）．
              （Ⅰ）求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式（不必证明）；
              （Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{an}不是等比数列；
              （Ⅲ）当λ=1时，试比较an与n2+1的大小，证明你的结论．
              难度：较难
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            • 7． 求证：（1+x）n+（1-x）n＜2n，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．
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            • 8． 设a＞2，给定数列{an}，a1=a，an+1=
              an2
              2(an-1)
              （n∈N+）．求证：an＞2，且an+1＜an（n∈N+）．
              难度：较难
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            • 9． 已知数列{an}中，a2=a+2（a为常数），Sn为{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项．
              （Ⅰ）求a1，a3；
              （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
              （Ⅲ）若bn=3n且a=2，Tn为数列{an•bn}的前n项和，求
              lim
              n→∞
              Tn-n•3n+1
              bn
              的值．
              难度：较难
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