定义运算\(\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{a}_{2}} \\ {{a}_{3}} & {{a}_{4}} \\\end{matrix} \right|={{a}_{1}}{{a}_{4}}-{{a}_{2}}{{a}_{3}}\)，将函数\(f(x)=\left| \begin{matrix} \sqrt{3} & \sin x \\ 1 & \cos x \\\end{matrix} \right|\)的图像向左平移\(n(n > 0)\)个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则\(n\)的最小值是\((\)    \()\)

点\(M\)的直角坐标是\((-1, \sqrt{3})\)，则点\(M\)的极坐标为\((\)　　\()\)

在平面直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=3\cos \alpha \\ & y=\sin \alpha \end{cases}\) \((\)\(\alpha \)为参数\()\)，在以原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线\(l\)的极坐标方程为\(\rho \sin \left( \theta -\dfrac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\)．

\((1)\)求\(C\)的普通方程和直线\(l\)的倾斜角；

\((2)\)设点\(P\left( 0,2 \right),l\)和\(C\)交于\(A,B\)两点，求\(\left| PA \right|+\left| PB \right|\)．

将极坐标方程\({{\rho }^{2}}\cos \theta -\rho =0\)化为直角坐标方程是\((\)   \()\)

\((1)\sin 20^{\circ}·\cos 10^{\circ}-\cos \;160^{\circ}·\sin 10^{\circ}= \)_________

\((2)\)如图，函数\(y=f\left(x\right) \)的图象在点\(p\)处的切线方程是\(y=-2x+9 \)，则\(f\left(4\right)+{f}^{{{{'}}}}\left(4\right) \)的值为__________．

\((3)\)在极坐标系中，直线\(ρ\cos θ- \sqrt{3}ρ\sin θ-1=0 \)与圆\(ρ=2\cos θ \)交于\(A\)，\(B\)两点，则\(\left|AB\right|= \)__________

\((4)\)已知定义在\(R\)上的函数\(f\left(x\right),g\left(x\right) \)满足\(\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}={a}^{x} \)，且\({f}^{{{{'}}}}\left(x\right)g\left(x\right) < f\left(x\right){g}^{{{{'}}}}\left(x\right) \)，\(\dfrac{f\left(1\right)}{g\left(1\right)}+ \dfrac{f\left(-1\right)}{g\left(-1\right)}= \dfrac{5}{2} \)，若有穷数列\(\left\{ \dfrac{f\left(n\right)}{g\left(n\right)}\right\}\left(n∈{N}^{*}\right) \)的前\(n\)项和等于\(\dfrac{31}{32} \)，则\(n\)等于____．

在 \(\vartriangle ABC\) 中，若 \({a}^{2}=b\left(b+c\right) \) ．

\((2)\)若\(a= \sqrt{3}b \) ，判断 \(\vartriangle ABC\) 的形状

定义行列式运算\(\left| \begin{matrix} {{x}_{1}}\,\,\,\,\,{{y}_{1}} \\ {{x}_{2}}\,\,\,\,\,{{y}_{2}} \\\end{matrix} \right|={{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}},\)将函数\(f\left( x \right)=\left| \begin{matrix} \sqrt{3}\,\,\,\,\cos x \\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\sin x \\\end{matrix} \right|\)的图象向右平移\(\varphi (\varphi > 0)\)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则\(\varphi \)的最小值为\((\)   \()\)

已知直线的极坐标方程为\(\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，则极点到直线的距离是_________

\((\)一\()\)选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

已知曲线\(C\)的极坐标方程是\(1+3{si}{{{n}}^{2}}\theta =\dfrac{4}{{{\rho }^{2}}}\)，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为\(x\)轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线\(l\)的参数方程是\({ }\!\!\{\!\!{ }\begin{matrix} x=10+2t \\ y=-2+t \\\end{matrix}{ }(t\)是参数\()\)，

\((\)Ⅰ\()\)写出直线\(l\)的普通方程和曲线\(C\)的直角坐标方程；

\((\)Ⅱ\()\)设曲线\(C\)经过伸缩变换\({ }\!\!\{\!\!{ }\begin{matrix} {x}{{{'}}}=2x \\ {y}{{{'}}}=y \\\end{matrix}{ }\)得到曲线\({C}{{{'}}}\)，曲线\({C}{{{'}}}\)任一点为\(M\left( x,y \right)\)，求点\(M\)直线\(l\)的距离的最大值．

\((\)二\()\)设函数\(f\left( x \right){=}45{|}x{-}a{|}\)．

\((1)\)当\(a{=}2\)时，解不等式\(f\left( x \right){\geqslant }7\mathrm{{-}45{|}x{-}1{|}}\)

\((2)\)若\(f\left( x \right){\leqslant }1\)的解集为\(\left\lbrack 0{,}2 \right\rbrack\)，\(\dfrac{1}{m}{+}\dfrac{1}{2n}{=}a\left( m{ > }0{,}n{ > }0 \right)\)，求\(m{+}4n\)的最小值．