知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x-1|，不等式f（x）＜4的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

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2．设函数f（x）=|2x-a|+2a
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-6≤x≤4}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若不等式f（x）≤（k²-1）x-5的解集非空，求实数k的取值范围．

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3．设函数f（x）=|2x-4|，g（x）=|x+1|．
（1）解不等式：f（x）＞g（x）；
（2）当x∈[0，3]，求函数y=f（x）+g（x）的最大值．

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4．已知函数f（x）=ln（1+x）（x＞0）．
（Ⅰ）证明：
x
1+x
＜f(x)；
（Ⅱ）比较2015²⁰¹³与2014²⁰¹⁴的大小；
（Ⅲ）给定正整数n（n＞2015），n个正实数x₁，x₂，…，x_n满足x₁+x₂+…+x_n=1，
证明：(
x12
1+x1
+
x22
1+x2
+…+
xn2
1+xn
)2015＞(
1
2016
)n．

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5．已知函数f（x）=x|x-a|-2．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在[0，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）f（x）是否存在三个零点，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

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6．已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＞a²-x²+2x在R上恒成立，求实数a的取值范围．

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7．已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1 （a为实常数）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并给出证明；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若a＞0，设g（x）=|f（x）-x|在区间[-2，2]上的最大值为h（a），求h（a）的表达式．

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8．已知a∈R，函数f（x）=x•|x-a|．
（1）当a=2时，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；
（2）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；
（3）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

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9．已知函数f（x）=x|x+1|-x-2．
（1）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值；
（2）是否存在区间[m，n]，使得函数的定义域与值域均为[m，n]，若存在，请求出所有可能的区间[m，n]，若不存在，请说明理由．

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10．已知函数f（x）=x|x-4|，
（Ⅰ）作出函数的简图，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[0，a]上最大值；
（Ⅲ）若函数f（x）在开区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别写出m、n的取值范围．

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