知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知二次函数$f(x)=ax^{2}+bx+1(a > 0)$，若$f(-1)=0$，且对任意实数$x$均有$f(x)\geqslant 0$成立，设$g(x)=f(x)-kx$
$(1)$当$x∈[-2,2]$时，$g(x)$为单调函数，求实数$k$的范围；
$(2)$当$x∈[1,2]$时，$g(x) < 0$恒成立，求实数$k$的范围．

难度：难

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2．
已知二次函数$f(x)=ax^{2}+bx+c(a\neq 0)$的图象过点$(0,1)$且与$x$轴有唯一的交点$(-1,0)$．
$($Ⅰ$)$求$f(x)$的表达式；
$($Ⅱ$)$在$($Ⅰ$)$的条件下，设函数$F(x)=f(x)-mx$，若$F(x)$在区间$[-2,2]$上是单调函数，求实数$m$的取值范围；
$($Ⅲ$)$设函数$g(x)=f(x)-kx$，$x∈[-2,2]$，记此函数的最小值为$h(k)$，求$h(k)$的解析式．

难度：难

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3．
已知二次函数$g(x)=ax^{2}-2ax+b+1(a > 0)$在区间$[2,3]$上有最大值$4$，最小值$1$．
$(1)$求函数$g(x)$的解析式；
$(2)$设$f(x)= \dfrac {g(x)}{x}$，若$f(\log _{3}x)-k⋅\log _{3}x\geqslant 0$在$x∈[ \dfrac {1}{27}, \dfrac {1}{3}]$时恒成立，求实数$k$的取值范围．

难度：难

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4．
已知函数$f(x)=-x^{2}+2ax+1-a$，
$(1)$若$a=2$，求$f(x)$在区间$[0,3]$上的最小值；
$(2)$若$f(x)$在区间$[0,1]$上有最大值$3$，求实数$a$的值．

难度：难

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5．已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

难度：难

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6．
已知关于$x$的函数$y=(m+6)x^{2}+2(m-1)x+m+1$恒有零点．
$(1)$求$m$的范围；
$(2)$若函数有两个不同零点，且其倒数之和为$-4$，求$m$的值．

难度：难

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7．
设$a$为实数，函数$f(x)=x^{2}+|x-a|+1$，$x∈R$．
$(1)$讨论$f(x)$的奇偶性；
$(2)$若$x\geqslant a$，求$f(x)$的最小值．

难度：难

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8．
已知二次函数$f(x)$的最小值为$1$，且$f(0)=f(2)=3$．
$(1)$求$f(x)$的解析式；
$(2)$若$f(x)$在区间$[3a,a+1]$上不单调，求实数$a$的取值范围；
$(3)$在区间$[-1,1]$上，$y=f(x)$的图象恒在$y=2x+2m+1$的图象上方，试确定实数$m$的取值范围．

难度：难

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9．已知函数f（x）=ax²+bx+c（c＞0）为偶函数，函数y=f（x）的图象在（1，f（1））处切线与直线2x-y-3=0平行，函数g（x）= $%20%5Cfrac%20%7Be%5E%7Bx%7D%7D%7Bf%28x%29%7D$ ．
（1）求a，b的值；
（2）讨论g（x）的单调性；
（3）若x₀为g（x）的极小值点，求g（x₀）的取值范围．

难度：难

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10．已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c为常数），对任意α∈R、β∈R，恒有f（sinα）≥0，且f（2+cosβ）≤0
（1）求f（1）的值
（2）求证：c≥3
（3）若f（sinα）的最大值为8，求f（x）的表达式．

难度：难

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