知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．偶函数y=f（x）满足f（x+3）=f（3-x），在x∈[-3，0]时，f（x）=2^-x．若存在x₁，x₂，…x_n满足0≤x₁＜x₂＜…＜x_n，且|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…+|f（x_n-1）-f（x_n）|=2019，则x最小值为______．

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2．设函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Be%5E%7Bx%7D%7D%7B1%2Bax%5E%7B2%7D%7D$ （a＞0）．
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a=2，证明：方程 $%20%5Cfrac%20%7Be%5E%7Bx%7D%7D%7B1%2Bax%5E%7B2%7D%7D$ =1有且仅有3个不同的实数根．（附： $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ≈1.414，e $%5E%7B%20%5Cfrac%20%7B2-%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D%7D$ ≈1.34，e $%5E%7B%20%5Cfrac%20%7B2%2B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D%7D$ ≈5.51）

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3．函数f（x）=1-3^x|x³-3x²+1|在[0，3]上的零点有______个．

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4．已知函数y=f（x）为R上的偶函数，当x∈[0，l）时f"（x）＜0当x∈（1，+∞）时，f"（x）＞0，且f（x）≥-m²+2m对m∈R恒成立，函数g（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的一个周期内的图象与函数f（|x|）的图象恰好有两个公共点，则g（x）=（　　）

A．-cosπx

B．-sinπx

C． $-cos%20%5Cfrac%20%7B%CF%80x%7D%7B2%7D$

D． $-sin%20%5Cfrac%20%7B%CF%80x%7D%7B2%7D$

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5．对数函数g（x）=1og_ax（a＞0，a≠1）和指数函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）互为反函数．已知函数f（x）=3^x，其反函数为y=g（x）．
（Ⅰ）若函数g（kx²+2x+1）的定义域为R，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若0＜x₁＜x₂且|g（x₁）|=|g（x₂）|，求4x₁+x₂的最小值；
（Ⅲ）定义在I上的函数F（x），如果满足：对任总x∈I，存在常数M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，则称函数F（x）是I上的有界函数，其中M为函数F（x）的上界．若函数h（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1-mf%28x%29%7D%7B1%2Bmf%28x%29%7D$ ，当m≠0时，探求函数h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范围，若不存在，请说明理由．

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6．

已知函数 $f%28x%29%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%20%7B%7B%28x-1%29%7D%5E%7B3%7D%7D%2Cx%5Cgeqslant%200%2C%20%5C%5C%20-%28x%2B1%29%7B%7Be%7D%5E%7Bx%7D%7D%2Cx%20%3C%20%200%2C%20%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$ ，若函数g（x）＝f（x）－a有3个零点，则实数a的取值范围是（）

A．（0，

%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7Be%7D%5E%7B2%7D%7D%7D

）

B．（0，

%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7Be%7D%5E%7B2%7D%7D%7D

）

C．（－e²，－1）

D．（－∞，－1）

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7．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Be%5E%7Bx%7D-3x%2Cx%5Cgeq%200%7D%7B2x%5E%7B2%7D%2B4x%2B1%2Cx%3C0%7D%5Cend%7Bcases%7D$ ，若关于x的方程f（x）-kx=0有4个不同的实数解，则k的取值范围为（　　）

A． $%28-%E2%88%9E%EF%BC%8C4-2%20%5Csqrt%20%7B2%7D%29%E2%88%AA%283-e%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$

B． $%28e-3%EF%BC%8C4-2%20%5Csqrt%20%7B2%7D%29$

C． $%28-%E2%88%9E%EF%BC%8C4-2%20%5Csqrt%20%7B2%7D%29%E2%88%AA%284%2B2%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$

D． $%283-e%EF%BC%8C4%2B2%20%5Csqrt%20%7B2%7D%29$

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8．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+ae^-x+e^-2x，g（x）=log $_%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%7D$ $%20%5Cfrac%20%7Bx%2B1%7D%7Bmx-1%7D$ ．
（1）若函数g（x）为奇函数，求实数m的值；
（2）在第（1）的条件下，求函数g（x）在区间[ $%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B7%7D%EF%BC%8C3$ ]上的所有上界构成的集合；
（3）若函数f（x）在[0，+∞]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

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9．已知函数f（x）=x|x-2|，直线y=a与函数f（x）的图象有三个交点A、B、C，它们的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是（　　）

A．（3，4+ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ）

B．（4，3+ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ）

C．（3，4+ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ]

D．R

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10．
定义：若函数$f(x)$对于其定义域内的某一数$x_{0}$，有$f(x_{0})=x_{0}$，则称$x_{0}$是$f(x)$的一个不动点$.$已知函数$f(x)=ax^{2}+(b+1)x+b-1(a\neq 0)$．
$(1)$当$a=1$，$b=-2$时，求函数$f(x)$的不动点；
$(2)$若对任意的实数$b$，函数$f(x)$恒有两个不动点，求$a$的取值范围；
$(3)$在$(2)$的条件下，若$y=f(x)$图象上两个点$A$、$B$的横坐标是函数$f(x)$的不动点，且$A$、$B$的中点$C$在函数$g(x)=-x+ \dfrac {a}{5a^{2}-4a+1}$的图象上，求$b$的最小值．
$($参考公式：$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$的中点坐标为$( \dfrac {x_{1}+x_{2}}{2}, \dfrac {y_{1}+y_{2}}{2}))$

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