知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设$a > 0$，$b > 0$，且$a+b= \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{b}.$求证：
$(1)a+b\geqslant 2$；
$(2)a^{2}+a < 2$与$b^{2}+b < 2$不可能同时成立．

难度：难

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2．
若不等式$x^{2}-2y^{2}\leqslant cx(y-x)$对任意满足$x > y > 0$的实数$x$、$y$恒成立，则实数$c$的最大值为 ______ ．

难度：难

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3．
已知函数$f(x)=m-|x-1|$，$m∈R$，且$f(x+2)+f(x-2)\geqslant 0$的解集为$[-2,4]$．
$(1)$求$m$的值；
$(2)$若$a$，$b$，$c$为正数，且$ \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{2b}+ \dfrac {1}{3c}=m$，求证$a+2b+3c\geqslant 3$．

难度：难

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4．
已知函数$f(x)=|x+3|+|x-1|$的最小值为$m$．
$(1)$求$m$的值；
$(2)$若$a > 0$，$b > 0$，$a+b=m$，求证$ \dfrac {1}{a}+ \dfrac {4}{b}\geqslant \dfrac {9}{4}$．

难度：难

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5．
已知点$A$在线段$BC$上$($不含端点$)$，$O$是直线$BC$外一点，且$ \overrightarrow{OA}-2a \overrightarrow{OB}-b \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{0}$，则$ \dfrac {a}{a+2b}+ \dfrac {2b}{1+b}$的最小值是 ______ ．

难度：难

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6．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，x，y都是正数，且a+b=1，求证：（ax+by）（bx+ay）≥xy．

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7．（Ⅰ）解不等式 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D-x-6%7D%7Bx-1%7D$ ＞0
（Ⅱ）设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D$ -1）（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb%7D$ -1）（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bc%7D$ -1）≥8．

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8．
已知函数$f(x)=a\ln x+x^{2}(a$为实常数$)$．
$(1)$当$a=-4$时，求函数$f(x)$在$[1,e]$上的最大值及相应的$x$值；
$(2)$当$x∈[1,e]$时，讨论方程$f(x)=0$根的个数．
$(3)$若$a > 0$，且对任意的$x_{1}$，$x_{2}∈[1,e]$，都有$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant | \dfrac {1}{x_{1}}- \dfrac {1}{x_{2}}|$，求实数$a$的取值范围．

难度：难

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9．
已知扇形的圆心角为$α$，所在圆的半径为$r$．
$(1)$若$α=120^{\circ}$，$r=6$，求扇形的弧长．
$(2)$若扇形的周长为$24$，当$α$为多少弧度时，该扇形面积$S$最大？并求出最大面积．

难度：难

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10．
$(I)$已知$a+b+c=1$，证明$(a+1)^{2}+(b+1)^{2}+(c+1)^{2}\geqslant \dfrac {16}{3}$；
$($Ⅱ$)$若对任总实数$x$，不等式$|x-a|+|2x-1|\geqslant 2$恒成立，求实数$a$的取值范围．

难度：难

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