知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

设函数\(f\left( x \right)={\ln }x\)，若\(a,b\)是两个不相等的正数且\(p=f\left( \sqrt{ab} \right),q=f\left( \dfrac{a+b}{2} \right)\) \(r=\dfrac{1}{2}f\left( \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2} \right)\) \(v=\dfrac{1}{2}\left[ f\left( a \right)+f\left( b \right) \right]\)，则下列关系式中正确的是\((\) \()\)

A．\(p=q < v < r\)

B．\(p=v < q < r\)

C．\(p=v < r < q\)

D．\(p < v < q < r\)

难度：难

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3．

设函数\(f\left( x \right)={{x}^{2}}+aIn\left( 1+x \right)\)有两个极值点\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，且\({{x}_{1}} < {{x}_{2}}\)

\((I)\)求\(a\)的取值范围，并讨论\(f\left( x \right)\)的单调性；

\((II)\)证明：\(f\left( {{x}_{2}} \right) > \dfrac{1-2In2}{4}\)

难度：难

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4．
已知函数\(f(x)=|2x-1|+x+ \dfrac {1}{2}\)的最小值为\(m\)．
\((1)\)求\(m\)的值；
\((2)\)若\(a\)，\(b\)，\(c\)是正实数，且\(a+b+c=m\)，求证：\(2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geqslant ab+bc+ca-3abc\)．

难度：难

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5．
\((1)\)求证：当\(a\)、\(b\)、\(c\)为正数时，\((a+b+c)( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{b}+ \dfrac {1}{c})\geqslant 9\)
\((2)\)已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}-1\)，\(b=2x+2\)，求证\(a\)，\(b\)中至少有一个不少于\(0\)．

难度：难

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6．
已知函数\(f(x)=|2x-1|\)．
\((1)\)求不等式\(f(x)+|x+1| < 2\)的解集；
\((2)\)若函数\(g(x)=f(x)+f(x-1)\)的最小值为\(a\)，且\(m+n=a(m > 0,n > 0)\)，求\( \dfrac {4}{m}+ \dfrac {1}{n}\)的最小值．

难度：难

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7．
已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，用分析法证明：\( \dfrac {a+b}{2}\geqslant \dfrac {2ab}{a+b}\)．

难度：难

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8．
若实数\(x\)，\(y\)满足\(x-4 \sqrt {y}=2 \sqrt {x-y}\)，则\(x\)的取值范围是 ______ ．

难度：难

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9．

已知正数\(x\)、\(y\)、\(z\)满足\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)，则\(S= \dfrac {1+z}{2xyz}\)的最小值为\((\)　　\()\)

A．\(3\)

B．\( \dfrac {3( \sqrt {3}+1)}{2}\)

C．\(4\)

D．\(2( \sqrt {2}+1)\)

难度：难

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10．

在下列各函数中，最小值等于\(2\)的函数是\((\)　　\()\)

A．\(y=x+ \dfrac {1}{x}\)

B．\(y=\cos x+ \dfrac {1}{\cos x}(0 < x < \dfrac {π}{2})\)

C．\(y= \dfrac {x^{2}+3}{ \sqrt {x^{2}+2}}\)

D．\(y=e^{x}+ \dfrac {4}{e^{x}}-2\)

难度：难

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