知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．某工地决定建造一批房型为长方体、房高为2.5米的简易房，房的前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧墙用2.5米的高的复合钢板．两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米．用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格）．已知彩色钢板每米单价为450元．复合钢板每米单价为200元，房的地面不需另买材料，房顶用其它材料建造，每平方米材料费200元，每套房的材料费控制在32000元以内．
（1）设房前面墙的长为x（米），两侧墙的长为y（米），建造一套房所需材料费为P（元），试用x，y表示P；
（2）试求一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？

难度：难

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3．设f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B16x%7D%7Bx%5E%7B2%7D%2B8%7D$ （x＞0）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）证明：对任意实数a、b，恒有f（a）＜b²-3b+ $%20%5Cfrac%20%7B21%7D%7B4%7D$ ．

难度：难

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4．某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的AB，DC）和两个半圆构成，设AB=xm，且x≥80．
（1）若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？
（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B22500%7D%7B%5Cpi%20%7D$ m²，则x取何值时，内圈周长最小？

难度：难

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5．已知ab= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ，a，b∈（0，1），则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1-a%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B1-b%7D$ 的最小值为 ______ ．

难度：难

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6．函数y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7Bm%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%7D%7Bn%7D$ =-1上，且m，n＞0，则3m+n的最小值 ______ ．

难度：难

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7．如图，围建一个面积为100m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需维修），其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用y（单位：元）
（1）将y表示为x的函数；
（2）求当x为何值时，y取得最小值，并求出此最小值．

难度：难

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8．已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得 $%20%5Csqrt%20%7Ba_%7Bm%7Da_%7Bn%7D%7D$ =4a₁，则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bm%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bn%7D$ 的最小值为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B3%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B25%7D%7B6%7D$

D．不存在

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9．（1）设x＞-1，求函数y=x+ $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx%2B1%7D$ +6的最小值；
（2）求函数y= $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%2B8%7D%7Bx-1%7D$ （x＞1）的最值．

难度：难

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10．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3Eb%3E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ，a= $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线x-my+1=0与椭圆C相交于A、B两点．
①若点M(- $%20%5Cfrac%20%7B7%7D%7B3%7D$ ，0)，求证： $%20%5Coverrightarrow%20%7BMA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BMB%7D$ 为定值；
②求三角形OAB面积的最大值(O为坐标原点)．

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