已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足：\({{a}_{1}}=1,{{a}_{n}} > 0\)，\(a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=1\left( n\in {{N}^{*}} \right)\)，那么使\({{a}_{n}} < 5\)成立的\(n\)的最大值为(    )

已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，且有\({{a}_{1}}=2\)，\(3{{S}_{n}}=5{{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}+3{{S}_{n-1}}(n\geqslant 2)\)．

\((1)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

\((2)\)若\({{b}_{n}}=(2n-1){{a}_{n}}\)，求数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)；

\((3)\)若\({{c}_{n}}={{t}^{n}}[\lg {{(2t)}^{n}}+\lg {{a}_{n+2}}]{ }(0 < t < 1)\)，且数列\(\{{{c}_{n}}\}\)中的每一项总小于它后面的项，求实数\(t\)的取值范围．

设\(f\left( x \right)\)满足\(f\left( n+1 \right)=\dfrac{3f\left( n \right)+n}{3}\left( n\in {{N}^{+}} \right)\)，且\(f\left( 1 \right)=1\)，则\(f\left( 28 \right)=\)__________．

数列\(\{a_{n}\}\)的通项\(a_{n}= \dfrac{n}{n^{2}+90}\)，则数列\(\{a_{n}\}\)中的最大项是(    )

等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的公差为\(d\)，关于\(x\)的不等式\(\dfrac{d}{2}{{x}^{2}}+\left( {{a}_{1}}-\dfrac{d}{2} \right)x+c\geqslant 0\)的解集为\(\left[ 0,22 \right]\)，则使数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)最大的正整数\(n\)的值是     ．

已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，对一切正整数\(n\)，点\(P_{n}(n,S_{n})\)都在函数\(f(x)=x^{2}+2x\)的图像上，且过点\(P_{n}(n,S_{n})\)的切线的斜率为\(k_{n}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)若\({b}_{n}= \dfrac{1}{{a}_{n}·({k}_{n}+1)} \)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，点\(\left( n,\dfrac{{{S}_{n}}}{n} \right)\)在直线\(y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{11}{2}\)上\(.\)

\((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{3}{\left( 2{{a}_{n}}-11 \right)\left( 2{{a}_{n+1}}-11 \right)}\)，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{T}_{n}}\)，并求使不等式\({{T}_{n}} > \dfrac{k}{20}\)对一切\(n\in {{N}^{*}}\)都成立的最大正整数\(k\)的值．