知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

设数列\(\{a_{n}\}\)是首项为\(0\)的递增数列，\(f_{n}(x)=|\sin \dfrac{1}{n}(x-a_{n})|\)，\(x∈[a_{n},a_{n+1}]\)，\(n∈N^{*}\)，若对任意的\(b∈[0,1)\)，\(f_{n}(x)=b\)总有两个不同的实数根，则\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=(\)　　\()\)

A．\((n^{2}-1)π\)

B．\( \dfrac{n^{2}-1}{2}π\)

C．\(n(n-1)π\)

D．\( \dfrac{n(n-1)}{2}π\)

难度：难

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2．

\((1)\)已知不等式组\(\begin{cases}\begin{matrix}y\leqslant x \\ y\geqslant -x\end{matrix} \\ x\leqslant a\end{cases} \)表示的平面区域\(S\)的面积为\(4\)，则\(z=2x+y\)的最大值为_____．

\((2)\)将数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：

\(①\)各行的第一个数\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{5}}\)构成公差为\(d\)的等差数列；

\(②\)从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为\(q\)的等比数列．

若\({{a}_{1}}=1,{{a}_{3}}=4,a_{5}^{{}}=3\)，则第\(n\)行的和\({{T}_{n}}=\)________

\((3)\)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为\(12 cm\)，深\(2cm\)的空穴，则该球的表面积是_____\(cm²\)．

\((4)\)已知\(\Delta ABC\)的外接圆半径为\(R\)，且\(2R({{\sin }^{2}}A-{{\sin }^{2}}C)=(\sqrt{2}a-b)\sin B.\) 则\(\angle C=\)____

难度：难

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3．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，数列\(\{b_{n}\}\)，\(\{c_{n}\}\)满足\((n+1)b_{n}=a_{n+1}- \dfrac{S_{n}}{n}\)，\((n+2)c_{n}= \dfrac{a_{n+1}+a_{n+2}}{2}- \dfrac{S_{n}}{n}\)，其中\(n∈N^{*}\)．

\((1)\)若数列\(\{a_{n}\}\)是公差为\(2\)的等差数列，求数列\(\{c_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)若存在实数\(λ\)，使得对一切\(n∈N^{*}\)，有\(b_{n}\leqslant λ\leqslant c_{n}\)，求证：数列\(\{a_{n}\}\)是等差数列．

难度：难

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4．
在我国古代著名的数学专著\(《\)九章算术\(》\)里有\(—\)段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需日相逢．

难度：难

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5．
已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式\({{a}_{n}}=11-2n,{{S}_{n}}=\left| {{a}_{1}} \right|+\left| {{a}_{2}} \right|+\cdots +\left| {{a}_{n}} \right|,\)则\({{S}_{10}} =\)_________。

难度：难

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6．
\((1)\)在\(∆ABC \)中，若\({\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B < {\sin }^{2}C \)，则\(∆ABC \)的形状是_______

\((2)\)在\(∆ABC \)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，若三角形面积\(S= \dfrac{ \sqrt{3}}{4}\left({a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}\right) \)，则角\(C=\)

\((3)\)在数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)中，其前\(n\)项和为\({S}_{n} \)，已知\(a\)\({\,\!}_{1}=1\)，\(a_{n}\)\(=2{S}_{n-1} \) \((\)\(n\)\(\geqslant 2\)，\(n\)\(∈N^{*})\)，这个数列的通项公式是________．

\((4)\)已知\({S}_{n} \)是等差数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和，且\({S}_{6} > {S}_{7} > {S}_{5} \)，给属下列五个命题：\(①d < 0 \)；\(②{S}_{11} > 0 \)；\(③\)使得\({S}_{n} > 0 \)最大的\(n\)值是\(12\)；\(④\)数列\(\left\{{S}_{n}\right\} \)中最大项为\({S}_{12} \)；\(⑤\left|{a}_{6}\right| > \left|{a}_{7}\right| \)，其中正确的命题的序号是．

难度：难

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7．

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{1}}=1\)，当\(n\geqslant 2\)且\(n\in N^{*}\)时，\(S_{n}^{2}={{a}_{n}}({{S}_{n}}-\dfrac{1}{2})\)．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(\left\{ \dfrac{1}{{{S}_{n}}} \right\}\)是等差数列；

\((\)Ⅱ\()\)若\({{b}_{n}}={{S}_{n}}{{S}_{n+1}}\)，\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证：\({{T}_{n}} < \dfrac{1}{2}\)．

难度：难

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8．已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({a}_{1}=1,{a}_{n}= \dfrac{2{s}_{{n}^{2}}}{2{s}_{n}-1}(n\geqslant 2) \)．
\((1)\)求证：数列\(\left\{ \dfrac{1}{{s}_{n}}\right\} \)为等差数列；
\((2)\)求\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式．

难度：难

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9．
设数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)前\(n\)项和为\({S}_{n} \)，且\({S}_{n}+{a}_{n}=2 \)．

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)若数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)满足\({b}_{1}={a}_{1},{b}_{n}= \dfrac{3{b}_{n-1}}{{b}_{n-1}+3},n\geqslant 2. \)求证\(\left\{ \dfrac{1}{{b}_{n}}\right\} \)为等差数列，并求数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)的通项公式；

\((\)Ⅲ\()\)设\({c}_{n}= \dfrac{{a}_{n}}{{b}_{n}} \)，求数列\(\left\{{c}_{n}\right\} \)的前\(n\)和\({T}_{n} \)．

难度：难

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10．
已知数列\(\{a_{n}\}\)为等差数列，若\( \dfrac{a_{13}}{a_{12}} < -1\)，且它的前\(n\)项和\(S_{n}\)有最大值，那么当\(S_{n}\)取得最小正值时，\(n\)的值为。

难度：难

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