已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(n{a}_{n}-\left(n+1\right){a}_{n-1}=2{n}^{2}+2n(n=2,3,4...),{a}_{1}=6 \)

\((1)\)求证\(\left\{ \dfrac{{a}_{n}}{n+1}\right\} \)为等差数列，并求出\(\{a\)\(n\)\(\}\)的通项公式

\((2)\)数列\(\left\{ \dfrac{1}{{a}_{n}}\right\} \)的前\(n\)项和\(S_{n,}\)求求证：\({S}_{n} < \dfrac{5}{12} \)

\((1)\)已知\(-1,{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},-9\)五个实数成等差数列，\(-1\)，\(b1\)，\(b2\)，\(b3\)，\(-9\)五个实数成等比数列，则\((a1-a3)/b2\)等于_______ ．

\((2)\dfrac{\sin 160{}^\circ }{\sin 110{}^\circ }-\tan 320^{\circ}+\sqrt{3}\tan 20^{\circ}\tan 40^{\circ}=\)______．

\((3)\)已知集合\(A=\{\left. x \right|{{x}^{2}}-16 < 0\}\)，\(B=\{x\left| {{x}^{2}}-4x+3 > 0 \right.\}\)，则\(A∩B=\)_________．

\((4)\)如图，测量河对岸的塔高\(AB\)时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点\(C\)与\(D\)，测得，测得\(∠BCD=75^{\circ}\)，\(CD=60\)，\(∠BDC=60^{\circ}\)，并在点\(C\)测得塔顶\(A\)的仰角为\(60^{\circ}\)，则塔高\(AB=\)________\(m\)．

已知\(f(x)\) 是定义在\(R\) 上的不恒为零的函数，且对于任意的_{\(a,b∈R \)}，满足_{\(f(a,b)=af(b)+bf(a) \)}，\(f(2)=2\)，数列_{\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)} 满足_{\({a}_{n}= \dfrac{f({2}^{n})}{{2}^{n}}(n∈{N}^{*}) \)}．

\((1)\)求数列_{\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)} 的通项公式；

\((2)\)若存在正整数_{\(n\in [1,10]\)} ，使得_{\(m{{a}_{n}}^{2}+2{{a}_{n}}-2m-1 < 0\)} 成立，求实数_\(m\) 的取值范围。

已知数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\({{a}_{n+2}}=(1+{{\cos }^{2}}\dfrac{n\pi }{2}){{a}_{n}}+{{\sin }^{2}}\dfrac{n\pi }{2}\)，\(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)

\((\)Ⅰ\()①\)求\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)，\(a_{6}\)；

\(②\)证明数列\(a_{1}\)，\(a_{3}\)，\(a_{5}\)，\(a_{7}\)，\(…\)，\(a_{2k-1}\)，\(…(k∈N^{*})\)成等差数列

\((\)Ⅱ\()\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{2n-1}}\cdot \sqrt{{{a}_{2n+1}}}+{{a}_{2n+1}}\cdot \sqrt{{{a}_{2n-1}}}}\)，若\(T_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}\)，求\(T_{n}\)