知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．

\((1)\)各棱长为\(\sqrt{2}\)的正四面体的外接球与内切球体积之比为______，

\((2)\)函数\(y{=}\cos^{2}x{+}\sin x\)的最大值是______．

\((3)\)若数列\(\{ a_{n}\}\)满足\(\dfrac{1}{a_{n{+}1}}{-}\dfrac{1}{a_{n}}{=}d\)，\((n{∈}N^{{*}}{,}d\)为常数\()\)，则称数列\(\{ a_{n}\}\)为调和数列，已知数列\(\{\dfrac{1}{x_{n}}\}\)为调和数列，且\(x_{1}{+}x_{2}{+…+}x_{10}{=}100\)，则\(x_{4}{+}x_{7}{=}\) ______ ．
\((4)\)设数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}(n{∈}N^{{*}})\)，关于数列\(\{ a_{n}\}\)有下列命题：
\({①}\)若\(\{ a_{n}\}\)既是等差数列又是等比数列，则\(a_{n}{=}a_{n{+}1}(n{∈}N^{{*}})\)；
\({②}\)若\(S_{n}{=}an^{2}{+}bn\)，\((a{,}b{∈}R)\)，则\(\{ a_{n}\}\)是等差数列；
\({③}\)若\(S_{n}{=}1{-}({-}1)^{n}\)，则\(\{ a_{n}\}\)是等比数列；
\({④}\)若\(\{ a_{n}\}\)是等比数列，则\(S_{m}\)，\(S_{2m}{-}S_{m}\)，\(S_{3m}{-}S_{2m}(m{∈}N^{{*}})\)也成等比数列；
其中正确的命题是______ ．

难度：难

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3．

已知数列\(\{ a_{n}\}\)满足\(a_{1}{=}1\)，\(2a_{n}a_{n{+}1}{+}a_{n{+}1}{-}a_{n}{=}0\)，数列\(\{ b_{n}\}\)满足\(b_{n}{=}\dfrac{1}{2^{n}a_{n}}\)．

\((1)\)求证：数列\(\left\{ \dfrac{1}{a_{n}} \right\}\)是等差数列；

\((2)\)求数列\(\{ b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

难度：难

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4．

已知\(\{a_{n}\}\)是公差为\(d\)的等差数列，它的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(S_{4}=2S_{2}+4\)，数列\(\{b_{n}\}\)中，\(b_{n}= \dfrac{1+a_{n}}{a_{n}}\)．

\((1)\)求公差\(d\)的值；

\((2)\)若\(a_{1}=- \dfrac{5}{2}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)中的最大项和最小项的值．

难度：难

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5．
我国古代数学名著\(《\)张邱健算经\(》\)有“分钱问题”如下：“今有人与钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”意思是：将钱分给若干人，第一人给\(3\)钱，第二人给\(4\)钱，第三人给\(5\)钱，以此类推，每人比前一人多给\(1\)钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得\(100\)钱，问有多少人？则分钱问题中的人数为\(\_\) \(\_\)．

难度：难

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6．
在数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)中，\(a\)\({\,\!}_{1}=1\)，当\(n\)\(\geqslant 2\)时，其前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{n}^{2}={a}_{n}\left({S}_{n}- \dfrac{1}{2}\right) \)．

\((1)\)求\(S_{n}\)的表达式；

\((2)\)设\({b}_{n}= \dfrac{{2}^{n}}{{S}_{n}} \)，求\(\{\)\(b_{n}\)\(\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：难

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7．
从集合\(\{1,2,3,⋯,2017 \) \(\}\)中任选三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列共有___________________个\((\)用数字作答\()\)

难度：难

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8．
已知等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)，满足\({{S}_{3}}=0,{{S}_{5}}=-5\)，则数列\(\left\{ \dfrac{1}{{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n+1}}} \right\}\)的前\(50\)项和\({{T}_{50}}=\) __________．

难度：难

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9．
，已知数列\(\{a_{n}\}\)，\({{a}_{1}}=2,{{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{2}^{n+1}}\)

\((1)\)求证：数列\(\left\{ \dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}} \right\}\)是等差数列；

\((2)\)设数列\({{b}_{n}}=\dfrac{n+2}{(n+1){{a}_{n}}}\)，求证\({{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +{{b}_{n}} < 1\) ．

难度：难

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10．已知数列\({ }\!\!\{\!\!{ }{{a}_{n}}{ }\!\!\}\!\!{ }\)满足\({{a}_{1}}=9\)，\({{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}=n(n\geqslant 2,n\in {{N}^{*}})\)，则\(\dfrac{2{{a}_{n}}}{n}\)的最小值为_________．

难度：难

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