知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
数列\(\{ a_{n}\}\)满足\(a_{1}{=}3{,}\dfrac{1}{a_{n{+}1}}{-}\dfrac{1}{a_{n}}{=}5(n{∈}N_{{+}})\)，则\(a_{n}{=}\) ______ ．

难度：难

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3．

设数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)是首项为\(1\)，公差为\(\dfrac{1}{2} \)的等差数列，\({S}_{n} \)是数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项的和，

\((1)\)若\({a}_{m},15,{S}_{n} \)成等差数列，\(\lg {a}_{m},\lg 9,\lg {S}_{n} \)也成等差数列\((m,n\)为整数\()\)，求\({a}_{m},{S}_{n} \)和\(m\)，\(n\) 的值；

\((2)\)是否存在正整数\(m\)，\(n\left(n\geqslant 2\right) \)，使\(\lg \left({S}_{n-1}+m\right),\lg \left({S}_{n}+m\right),\lg \left({S}_{n+1}+m\right) \)成等差数列？若存在，求出\(m\)，\(n\)的所有可能值；若不存在，试说明理由．

难度：难

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4．
已知数列\(\{b_{n}\}\)的每一项都是正整数，且\(b_{1}=5\)，\(b_{2}=7 < b_{3}\)，数列\(\{a_{n}\}\)是公差为\(d(d∈\)\(N^{*})\)的等差数列，且有\(a_{7}=6\)，则使得数列\(\{{{a}_{{{b}_{n}}}}\}\)是等比数列的\(d\)的值为________．

难度：难

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5．

已知数列\(\{{a}_{n}\} \)的前\(n \)项和为\({S}_{n} \)，\({a}_{1}=1 \)，且\(2n{S}_{n+1}−2(n+1){S}_{n}=n(n+1)(n∈{N}^{∗}) \)\(.\)数列\(\{{b}_{n}\} \)满足\({b}_{n+2}−2{b}_{n+1}+{b}_{n}=0(n∈{N}^{∗}) \)．\({b}_{3}=5 \)，其前\(9 \)项和为\(63 \)．

\((1)\)求数列\(\{{a}_{n}\} \)和\(\{{b}_{n}\} \)的通项公式；

\((2)\)令\({c}_{n}= \dfrac{{b}_{n}}{{a}_{n}}+ \dfrac{{a}_{n}}{{b}_{n}} \)，数列\(\{{c}_{n}\} \)的前\(n \)项和为\({T}_{n} \)，若对任意正整数\(n \)，都有\({T}_{n}−2n∈[a,b] \)，求\(b−a \)的最小值．

难度：难

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6．
若锐角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为\(m\)，则\(m\)的取值范围是____________．

难度：难

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7． \(S_{n}\)是数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)的前 \(n\)项和，则“ \(S_{n}\)是关于 \(n\)的二次函数”是“数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)为等差数列”的\((\)　　\()\)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

难度：难

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8．
在等比数列\(\{{a}_{n}\} \)中，\({a}_{4}= \dfrac{2}{3},{a}_{3}+{a}_{5}= \dfrac{20}{9} \)．

\((1)\)求数列\(\{{a}_{n}\} \)的通项公式\(;\)

\((2)\)若数列\(\{{a}_{n}\} \)的公比大于\(1\)，且\({b}_{n}={\log }_{3} \dfrac{{a}_{n}}{2} \)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

难度：难

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9．
函数\(f\left( x \right)\)满足：\(f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{2}\)，且对任意\(\alpha ,\beta \in R\)，都有\(f\left( \alpha \cdot \beta \right)=\alpha f\left( \beta \right)+\beta f\left( \alpha \right)\)，设\({{x}_{n}}=f\left( \dfrac{1}{{{2}^{n}}} \right)\)．
\((1)\)求数列\(\left\{ {{x}_{n}} \right\}\)的通项公式\(;\)
\((2)\)求数列\(\left\{ {{x}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)．

难度：难

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10．

若集合\(G=\{3,4\}\)，数列\(\{a_{n}\}\)，\(a_{1}=1\)，\(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}=T_{n}\)，已知\(m∈G\)，当\(n > m\)时，\(\dfrac{{{T}_{n+m}}+{{T}_{n-m}}}{{{T}_{n}}+{{T}_{m}}}=2\)恒成立，则数列\(\{a_{n})\)的通项公式\(a_{n}=(\) \()\)

A．\(3^{n}-2\)

B．\(2^{n}-1\)

C．\(3n-2\)

D．\(2n-1\)

难度：难

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