知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+8y=0垂直，若数列{ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bf%28n%29%7D$ }的前n项和为S_n，则S_n=______．

难度：难

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2．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a、b∈R满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n= $%20%5Cfrac%20%7Bf%282%5E%7Bn%7D%29%7D%7Bn%7D$ （n∈N^*），b_n= $%20%5Cfrac%20%7Bf%282%5E%7Bn%7D%29%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D$ （n∈N^*），考察下列结论：
①f（0）=f（1）；
②f（x）为偶函数；
③数列{b_n}为等差数列；
④数列{a_n}为等比数列，
其中正确的是______．（填序号）

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3．已知集合A={a₁，a₂，…，a₁₀₀₀}，其中 $a_%7Bi%7D%E2%88%88N%5E%7B*%7D%28i%3D1%C2%A0%EF%BC%8C%C2%A02%C2%A0%EF%BC%8C%C2%A0%E2%80%A6%C2%A0%EF%BC%8C%C2%A01000%29$ ，a₁＜a₂＜…＜a₁₀₀₀≤2019．如果集合A满足：对于任意的m+n∈A（m，n=1，2，…，1000），都有a_m+a_n∈A，那么称集合A具有性质P．
（Ⅰ）写出一个具有性质P的集合A；
（Ⅱ）证明：对任意具有性质P的集合A，2000∉A；
（Ⅲ）求具有性质P的集合A的个数．

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4．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”．
（1）已知等比数列{a_n}（n∈N^*）满足：a₂a₄=a₅，a₃-4a₂+4a₁=0，求证：数列{a_n}为“M-数列”；
（2）已知数列{b_n}（n∈N^*）满足：b₁=1， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7Bn%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bb_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，其中S_n为数列{b_n}的前n项和．
①求数列{b_n}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M-数列”{c_n}（n∈N^*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c_k≤b_k≤c_k+1成立，求m的最大值．

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5．设 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%3D%28x%5E%7B2%7D%EF%BC%8C-2%29$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%3D%283%EF%BC%8Cx%29$ ， $f%28x%29%3D%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，数列{a_n}的前n项和S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，T_n是数列{b_n}的前n项和，求满足 $T_%7Bn%7D%EF%BC%9E%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7B21%7D$ （n∈N^*）的最大正整数m．

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