知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}满足a_n₊₁=a_n²﹣a_n+1（n∈N*），S_n为{a_n}的前n项和．证明：对任意n∈N^* ，
（I）当0≤a₁≤1时，0≤a_n≤1；
（II）当a₁＞1时，a_n＞（a₁﹣1）a₁ⁿ^﹣¹；
（III）当a₁= $\text{[math]}$ 时，n﹣ $\text{[math]}$ ＜S_n＜n．

难度：难

解析收藏试题篮
2．已知 $a_%7Bn%7D%3D%20%E2%88%AB_%7B%200%20%7D%5E%7B%20n%20%7D%282x%2B1%29dx$ ，数列 $%5C%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D%5C%7D$ 的前n项和为S_n，数列{b_n}的通项公式为b_n=n-8，则b_nS_n的最小值为 ______ ．

难度：难

解析收藏试题篮
3．已知在数列{a_n}中，S_n为其前n项和，若a_n＞0，且4S_n=a_n²+2a_n+1（n∈N^*），数列{b_n}为等比数列，公比q＞1，b₁=a₁，且2b₂，b₄，3b₃成等差数列．
（1）求{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）令c_n= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D$ ，若{c_n}的前项和为T_n，求证：T_n＜6．

难度：难

解析收藏试题篮
4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ （a_n-1）（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值．
（2）求a_n的通项公式．

难度：难

解析收藏试题篮
5．已知数列{a_n}满足a₁=1， $a_%7Bn%2B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B2a_%7Bn%7D%2B1%7D%EF%BC%8Cn%E2%88%88N%5E%7B*%7D$ ．
（1）证明：数列 $%5C%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D%5C%7D$ 是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B2n%2B1%7D$ ，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使不等式S_n＜k对一切n∈N^*恒成立的实数k的范围．

难度：难

解析收藏试题篮
6．等差数列{a_n}中，a₂=4，a₄+a₇=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，求b₁+b₂+b₃+…+b₁₀的值．

难度：难

解析收藏试题篮
7．已知数列 $%5C%7Ba_%7Bn%7D%5C%7D%EF%BC%8Ca_%7B1%7D%3D2%EF%BC%8Ca_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%7D%2B%281-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%7D%29a_%7Bn-1%7D%28n%E2%89%A52%EF%BC%8Cn%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．
（1）证明：数列{na_n}是等差数列；
（2）记 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%5E%7B2%7Da_%7Bn%7D%7D$ ，{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜1．

难度：难

解析收藏试题篮
8．设整数n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记a_n为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数．
（1）求a₃；
（2）求a_n．

难度：难

解析收藏试题篮
9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）设a₁＞0，数列{lg $%20%5Cfrac%20%7B10a_%7B1%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ }的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

难度：难

解析收藏试题篮
10．在公比大于1的等比数列{a_n}中，a₂=6，a₁+a₂+a₃=26，设c_n=a_n+b_n，且数列{c_n}是等差数列，b₁=a₁，b₃=-10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷