知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．若数列x，a₁，a₂，y成等差数列，x，b₁，b₂，y成等比数列，则 $%20%5Cfrac%20%7B%28a_%7B1%7D%2Ba_%7B2%7D%29%5E%7B2%7D%7D%7Bb_%7B1%7D%5Ccdot%20b_%7B2%7D%7D$ 的取值范围是 ______ ．

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3．已知各项均为正数的等比数列{a_n}，其前n项和S_n，若S_n=2，S_3n=14，则S_6n= ______ ．

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4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n．求满足不等式 $%20%5Cfrac%20%7BT_%7Bn%7D-2%7D%7B2n-1%7D$ ＞2010的n的最小值．

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5．已知数列{a_n}满足a₁= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，a_n= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn-1%7D%7D%7B2-a_%7Bn-1%7D%7D$ （n≥2）．
（1）求证：{ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%C2%A0_%7Bn%7D%7D$ -1}为等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）若b_n= $%20%5Cfrac%20%7B2n-1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，求{b_n}的前n项和S_n．

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6．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₆：S₃=1：2，则S₉：S₃= ______ ．

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7．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%2B3%7D$ （n∈N^*）
（1）求a₂，a₃；
（2）求证：{ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ }是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（3）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）• $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D$ •a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+ $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D$ 对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

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8．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）设b_n= $%20%5Cfrac%20%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%5Ccdot%20a_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明：T_n＜ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．

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9．已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1）
设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且数列{b_n}的前n项和S_n，当 $m%3D%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 时，求S_n．

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

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