已知向量\(\overrightarrow{a}\)与向量\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(\dfrac{\pi }{3}\)，且\(\overrightarrow{a}\left(1, \sqrt{2}\right) \)，\(\overrightarrow{a}\bot \left( \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right)\)，则\(\left| \overrightarrow{b} \right|=\)_______________．

已知\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)是平面向量，如果\(\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{6},\left| \overrightarrow{b} \right|=\sqrt{3},\left( \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} \right)\bot \left( 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)\) ，那么\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的数量积    等于           

已知点\(P(2,2)\)，圆\(C\)：\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8y=0,\)过点\(P\)的动直线\(l\)与圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(M\)，\(O\)为坐标原点。

\((1)\)求点\(M\)的轨迹方程；

\((2)\)当\(\left| OP \right|=\left| OM \right|\)时，求\(l\)的方程及\(\Delta POM\)的面积。

下列是有关\(\Delta ABC\)的几个命题，\(①\)若\({\tan }A+{\tan }B+{\tan }C > 0\)，则\(\Delta ABC\)是锐角三角形；\(②\)若\({\sin }2A={\sin }2B\)，则\(\Delta ABC\)是等腰三角形；\(③\)若\(\left( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}\right)· \overrightarrow{BC}=0 \)，则\(\Delta ABC\)是等腰三角形；\(④\)若\({\cos }A={\sin }B\)，则\(\Delta ABC\)是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是_______

已知向量\( \overset{→}{a}=\left(1,y\right), \overset{→}{b}=\left(1,-3\right) \)且\(\left(2 \overset{→}{a}+ \overset{→}{b}\right)⊥ \overset{→}{b} \)

\((1)\)求\(\left| \overset{→}{a}\right| \)；

\((2)\)若\(\left(k \overset{→}{a}+2 \overset{→}{b}\right)/\!/\left(2 \overset{→}{a}-4 \overset{→}{b}\right) \)，求\(k\)的值。

平面向量\( \overset{→}{a}=\left( \sqrt{3},-1\right)\;,\; \overset{→}{b}=\left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{ \sqrt{3}}{2}\right) \)，若存在不同时为的实数\(k \)和\(t \)，使\( \overset{→}{x}= \overset{→}{a}+({t}^{2}-3) \overset{→}{b}\;,\; \overset{→}{y}=-k \overset{→}{a}+t \overset{→}{b} \)且\( \overset{→}{x}⊥ \overset{→}{y} \)，试确定函数\(k=f(t) \)的单调区间\(.\)