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          共50条信息

            • 1．
              两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题\(.\)他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类\(.\)如图中实心点的个数\(5\)，\(9\)，\(14\)，\(20\)，\(…\)为梯形数\(.\)根据图形的构成，记此数列的第\(2017\)项为\(a_{2017}\)，则\(a_{2017}-5=(\)　　\()\)
              A．\(2023×2017\)
              B．\(2023×2016\)
              C．\(1008×2023\)
              D．\(2017×1008\)
              难度：难
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            • 2．
              已知：\(\sin ^{2}30^{\circ}+\sin ^{2}90^{\circ}+\sin ^{2}150^{\circ}= \dfrac {3}{2}\)；\(\sin ^{2}5^{\circ}+\sin ^{2}65^{\circ}+\sin ^{2}125^{\circ}= \dfrac {3}{2}\)通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题 ______ ．
              难度：难
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            • 3．
              \(f(x)= \dfrac {1}{3^{x}+ \sqrt {3}}\)，先分别求\(f(0)+f(1)\)，\(f(-1)+f(2)\)，\(f(-2)+f(3)\)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
              难度：难
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            • 4．
              从\(1=1\)，\(1-4=-(1+2)\)，\(1-4+9=1+2+3\)，\(1-4+9-16=-(1+2+3+4)\)，\(…\)，概括出第\(n\)个式子为 ______ ．
              难度：难
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            • 5．
              已知等式：\(\sin ^{2}5^{\circ}+\cos ^{2}35^{\circ}+\sin 5^{\circ}\cos 35^{\circ}= \dfrac {3}{4}\)；\(\sin ^{2}15^{\circ}+\cos ^{2}45^{\circ}+\sin 15^{\circ}\cos 45^{\circ}= \dfrac {3}{4}\)；
              \(\sin ^{2}30^{\circ}+\cos ^{2}60^{\circ}+\sin 30^{\circ}\cos 60^{\circ}= \dfrac {3}{4}\)；由此可归纳出对任意角度\(θ\)都成立的一个等式，并予以证明．
              难度：难
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            • 6．
              由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
              \(①\)“\(mn=nm\)”类比得到“\( \overrightarrow{a}⋅ \overrightarrow{b}= \overrightarrow{b}⋅ \overrightarrow{a}\)”；
              \(②\)“\((m+n)t=mt+nt\)”类比得到“\(( \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})⋅ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{a}⋅ \overrightarrow{c}+ \overrightarrow{b}⋅ \overrightarrow{c}\)”；
              \(③\)“\(t\neq 0\)，\(mt=nt⇒m=n\)”类比得到“\( \overrightarrow{c}\neq 0\)，\( \overrightarrow{a}⋅ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{b}⋅ \overrightarrow{c}⇒ \overrightarrow{a}= \overrightarrow{b}\)”；
              \(④\)“\(|m⋅n|=|m|⋅|n|\)”类比得到“\(| \overrightarrow{a}⋅ \overrightarrow{b}|=| \overrightarrow{a}|⋅| \overrightarrow{b}|\)”；
              \(⑤\)“\((m⋅n)t=m(n⋅t)\)”类比得到“\(( \overrightarrow{a}⋅ \overrightarrow{b})⋅ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{a}( \overrightarrow{b}⋅ \overrightarrow{c})\)”；
              \(⑥\)“\( \dfrac {ac}{bc}= \dfrac {a}{b}\)”类比得到\( \dfrac { \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}}{ \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}}= \dfrac { \overrightarrow{a}}{ \overrightarrow{b}}.\)以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ______ ．
              难度：难
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            • 7．
              单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图\(.\)其中第一个图有\(1\)个蜂巢，第二个图有\(7\)个蜂巢，第三个图有\(19\)个蜂巢，按此规律，以\(f(n)\)表示第\(n\)幅图的蜂巢总数\(.\)则\(f(4)=\)________；\(f(n)=\)________\((\)　　\()\)
              A．\(37\)　\(3n^{2}-3n+1\)
              B．\(38\)　\(3n^{2}-3n+2\)
              C．\(36\)　\(3n^{2}-3n\)
              D．\(35\)　\(3n^{2}-3n-1\)
              难度：难
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            • 8．
              甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了，甲说：“是乙不小心闯的祸”乙说：“是丙闯的祸”，丙说：“乙说的不是实话\(.\)”丁说：“反正不是我闯的祸\(.\)”如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是 ______ ．
              难度：难
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            • 9．
              把正整数排列成如图\(1\)所示的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图\(2\)所示的三角形数阵，设\(a_{ij}\)为图\(2\)所示三角形数阵中第\(i\)行第\(j\)个数，若\(a_{mn}=2017\)，则实数对\((m,n)\)为 ______ ．
              难度：难
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            • 10．
              一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁\(.\)事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确\(.\)已知前四次输入密码分别为\(3406\)，\(1630\)，\(7364\)，\(6173\)，则正确的密码中一定含有数字\((\)　　\()\)
              A．\(4\)，\(6\)
              B．\(3\)，\(6\)
              C．\(3\)，\(7\)
              D．\(1\)，\(7\)
              难度：难
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