知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设\(f(x)=6\cos ^{2}x- \sqrt {3}\sin 2x(x∈R)\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)的最大值及最小正周期；
\((\)Ⅱ\()\)在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，锐角\(A\)满足，\(f(A)=3-2 \sqrt {3}\)，\(B= \dfrac {\pi }{12}\)，求\( \dfrac {a}{c}\)的值．

难度：难

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2．
在\(\triangle ABC\)中，\(BC\)边上的中线长等于\(BC\)长的\(2\)倍，则\(\dfrac{\sin B·\sin C}{\sin 2A} \)的最大值为_____________

难度：难

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3．
已知：\({\sin }^{2}{30}^{^{\circ}}+{\sin }^{2}90^{\circ}+{\sin }^{2}150^{\circ}= \dfrac{3}{2}{\sin }^{2}5^{\circ}+{\sin }^{2}60^{\circ}+{\sin }^{2}125^{\circ}= \dfrac{3}{2} .\)通过观察上述两等式的规律，写出一般性的命题：_____________________\( = \dfrac{3}{2} \)．

难度：难

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4．
已知：\(\sin ^{2}30^{\circ}+\sin ^{2}90^{\circ}+\sin ^{2}150^{\circ}= \dfrac {3}{2}\)；\(\sin ^{2}5^{\circ}+\sin ^{2}65^{\circ}+\sin ^{2}125^{\circ}= \dfrac {3}{2}\)通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题 ______ ．

难度：难

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5．
已知函数\(f(x)=\sin ( \dfrac {π}{2}-x)\sin x- \sqrt {3}\cos ^{2}x.\)
\((I)\)求\(f(x)\)的最小正周期和最大值；
\((II)\)讨论\(f(x)\)在\([ \dfrac {π}{6}, \dfrac {2π}{3}]\)上的单调性．

难度：难

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6．
\( \dfrac{1}{2\sin 10^{\circ}}-2\sin 70^{\circ}= \) ．

难度：难

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7．

已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的公差\(d∈(0,1)\)，且\(\dfrac{{{\sin }^{2}}{{a}_{3}}-{{\sin }^{2}}{{a}_{7}}}{\sin ({{a}_{3}}+{{a}_{7}})}=-1\)，当\(n=10\)时，数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)取得最小值，则首项\(a_{1}\)的取值范围是

A．\((-\dfrac{5\pi }{8},-\dfrac{9\pi }{16})\)

B．\([-\dfrac{5\pi }{8},-\dfrac{9\pi }{16}]\)

C．\((-\dfrac{5\pi }{4},-\dfrac{9\pi }{8})\)

D．\([-\dfrac{5\pi }{4},-\dfrac{9\pi }{8}]\)

难度：难

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8．

求值：

\((1)\sin 50{}^\circ (1+\sqrt{3}\sin 10{}^\circ )\)

\((2)\dfrac{2{{\cos }^{2}}42{}^\circ +\sin 75{}^\circ \cos 81{}^\circ -1}{\cos 6{}^\circ -\cos 75{}^\circ \cos 81{}^\circ }\)

难度：难

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