知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，\(2017\)年双\(11\)期间，某购物平台的销售业绩高达\(1271\)亿人民币\(.\)与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出\(200\)次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为\(0.6\)，对服务的好评率为\(0.75\)，其中对商品和服务都做出好评的交易为\(80\)次．
\((\)Ⅰ\()\)完成下面的 \(2×2\)列联表，并回答是否有\(99\%\)的把握，认为商品好评与服务好评有关？

对服务好评对服务不满意合计

对商品好评

对商品不满意

合计 \(200\)

\((\)Ⅱ\()\)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的\(3\)次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量\(X\)：
\((1)\)求对商品和服务全好评的次数\(X\)的分布列；
\((2)\)求\(X\)的数学期望和方差．
附：

\(P(K^{2}\geqslant k)\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\) \(0.005\) \(0.001\)

\(k\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\) \(7.879\) \(10.828\)

\((K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(n=a+b+c+d)\)

难度：难

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2．
在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．

坐标系与参数方程不等式选讲

人数及均分人数均分人数均分

男同学 \(14\) \(8\) \(6\) \(7\)

女同学 \(8\) \(6.5\) \(12\) \(5.5\)

\((\)Ⅰ\()\)求全班选做题的均分；
\((\)Ⅱ\()\)据此判断是否有\(90\%\)的把握认为选做\(《\)坐标系与参数方程\(》\)或\(《\)不等式选讲\(》\)与性别有关？
\((\)Ⅲ\()\)已知学习委员甲\((\)女\()\)和数学科代表乙\((\)男\()\)都选做\(《\)不等式选讲\(》.\)若在\(《\)不等式选讲\(》\)中按性别分层抽样抽取\(3\)人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．
参考公式：\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，\(n=a+b+c+d\)．
下面临界值表仅供参考：

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\) \(0.005\) \(0.001\)

\(k_{0}\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\) \(7.879\) \(10.828\)

难度：难

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3．
春节来临，有农民工兄弟\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响\(.\)若\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)获得火车票的概率分别是\(p_{1}, \dfrac {1}{2},p_{3}, \dfrac {1}{4}\)，其中\(p_{1} > p_{3}\)，又\(p_{1}, \dfrac {1}{2},2p_{3}\)成等比数列，且\(A\)、\(C\)两人恰好有一人获得火车票的概率是\( \dfrac {1}{2}\)．
\((1)\)求\(p_{1}\)，\(p_{3}\)的值；
\((2)\)若\(C\)、\(D\)是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家\(.\)设\(X\)表示\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)能够回家过年的人数，求\(X\)的分布列和期望\(EX\)．

难度：难

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4．
某单位实行休年假制度三年以来，\(50\)名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：

休假次数 \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)

人数 \(5\) \(10\) \(20\) \(15\)

根据表中信息解答以下问题：
\((1)\)从该单位任选两名职工，求这两人休年假次数之和为\(4\)的概率；
\((2)\)从该单位任选两名职工，用\(ξ\)表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量\(ξ\)的分布列及数学期望\(Eξ\)．

难度：难

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5．
某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了\(100\)名学生进行调查\(.\)如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．
\((\)Ⅰ\()\)根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数\( \overset{ .}{x}\)和众数\(m(\)同一组中的数据用该组区间的中点值作代表\()\)；
\((\)Ⅱ\()\)已知样本中玩电脑游戏时长在\([50,60]\)的学生中，男生比女生多\(1\)人，现从中选\(3\)人进行回访，记选出的男生人数为\(ξ\)，求\(ξ\)的分布列与期望\(E(ξ)\)．

难度：难

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6．
某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标\(.\)现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从\(6\)个招标总是中随机抽取\(3\)个总题，已知这\(6\)个招标问题中，甲公司可正确回答其中\(4\)道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为\( \dfrac {2}{3}\)，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．
\((1)\)求甲、乙两家公司共答对\(2\)道题目的概率；
\((2)\)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？

难度：难

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7．

体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球\(3\)次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到\(3\)次为止\(.\)设学生一次发球成功的概率为\(p\) \((p\neq 0)\)，发球次数为\(X\)，若\(X\)的数学期望\(EX > 1.75\)，则\(p\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\((0, \dfrac {7}{12})\)

B．\(( \dfrac {7}{12},1)\)

C．\((0, \dfrac {1}{2})\)

D．\(( \dfrac {1}{2},1)\)

难度：难

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8．
某校的学生文娱团队由理科组和文科组构成，具体数据如表所示：

组别文科理科

性别男生女生男生女生

人数 \(3\) \(1\) \(3\) \(2\)

学校准备从该文娱团队中选出\(4\)人到某社区参加大型公益活动演出，每选出一名男生，给其所在的组记\(1\)分；每选出一名女生，给其所在的组记\(2\)分，要求被选出的\(4\)人中文科组和理科组的学生都有．
\((I)\)求理科组恰好得\(4\)分的概率；
\((II)\)记文科组的得分为\(X\)，求随机变量\(X\)的分布列和数学期望\(EX\)．

难度：难

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9．
来自某校一班和二班的共计\(9\)名学生志愿服务者被随机平均分配到运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名一班志愿者的概率是\( \dfrac {20}{21}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求清扫卫生岗位恰好一班\(1\)人、二班\(2\)人的概率；
\((\)Ⅱ\()\)设随机变量\(X\)为在维持秩序岗位服务的一班的志愿者的人数，求\(X\)分布列及期望．

难度：难

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10．
某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的\(100\)人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图\((\)如图所示\().\)规定\(80\)分及以上者晋级成功，否则晋级失败\((\)满分\(100\)分\()\)．
\((\)Ⅰ\()\)求图中\(a\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)根据已知条件完成下面\(2×2\)列联表，并判断能否有\(85\%\)的把握认为“晋级成功”与性别有关？

晋级成功晋级失败合计

男 \(16\)

女 \(50\)

合计

\((\)参考公式：\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(n=a+b+c+d)\)

\(P(K^{2}\geqslant k)\) \(0.40\) \(0.25\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\)

\(k\) \(0.780\) \(1.323\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\)

\((\)Ⅲ\()\)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取\(4\)人进行约谈，记这\(4\)人中晋级失败的人数为\(X\)，求\(X\)的分布列与数学期望\(E(X)\)．

难度：难

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0/40

进入组卷

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评
对商品不满意
合计			\(200\)

\(P(K^{2}\geqslant k)\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

	坐标系与参数方程		不等式选讲
人数及均分	人数	均分	人数	均分
男同学	\(14\)	\(8\)	\(6\)	\(7\)
女同学	\(8\)	\(6.5\)	\(12\)	\(5.5\)

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

休假次数	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
人数	\(5\)	\(10\)	\(20\)	\(15\)

组别	文科		理科
性别	男生	女生	男生	女生
人数	\(3\)	\(1\)	\(3\)	\(2\)

\(P(K^{2}\geqslant k)\)	\(0.40\)	\(0.25\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)
\(k\)	\(0.780\)	\(1.323\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)

	晋级成功	晋级失败	合计
男	\(16\)
女			\(50\)
合计