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          50条信息

            • 1.
              依据某地某条河流\(8\) 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图\((\)甲\()\)所示;依据当地的地质构造,得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图\((\)乙\()\)所示.
              试估计该河流在\(8\) 月份水位的中位数;
              \((I)\)以此频率作为概率,试估计该河流在\(8\) 月份发生\(1\) 级灾害的概率;
              \((\)Ⅱ\()\)该河流域某企业,在\(8\) 月份,若没受\(1\)、\(2\) 级灾害影响,利润为\(500\) 万元; 若受\(1\) 级灾害影响,则亏损\(100\) 万元;若受 \(2\) 级灾害影响则亏损\(1000\) 万元\(.\) 现此企业有如下三种应对方案:

              方案

              防控等级

              费用\((\)单位:万元\()\)

              方案一

              无措施

              \(0\)

              方案二

              防控 \(1\) 级灾害

              \(40\)

              方案三

              防控 \(2\) 级灾害

              \(100\)
              试问,如仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.
            • 2.
              为了治理大气污染,某市\(2017\)年初采用了一系列措施,比如“煤改电”,“煤改气”,“国Ⅰ,Ⅱ轻型汽油车限行”,“整治散乱污染企业”等\(.\)如表是该市\(2016\)年和\(2017\)年\(12\)月份的空气质量指数\((AQI)(AQI\)指数越小,空气质量越好\()\)统计表.
              表\(1\):\(2016\)年\(12\)月\(AQI\)指数表:单位\((μg/m^{3})\)
              日期 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\)
              \(AQI\) \(47\) \(123\) \(232\) \(291\) \(78\) \(103\) \(159\) \(132\) \(37\) \(67\) \(204\)
              日期 \(12\) \(13\) \(14\) \(15\) \(16\) \(17\) \(18\) \(19\) \(20\) \(21\) \(22\)
              \(AQI\) \(270\) \(78\) \(40\) \(51\) \(135\) \(229\) \(270\) \(265\) \(409\) \(429\) \(151\)
              日期 \(23\) \(24\) \(25\) \(26\) \(27\) \(28\) \(29\) \(30\) \(31\)
              \(AQI\) \(47\) \(155\) \(191\) \(64\) \(54\) \(85\) \(75\) \(249\) \(329\)
              表\(2\):\(2017\)年\(12\)月\(AQI\)指数表:单位\((μg/m^{3})\)
              日期 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\)
              \(AQI\) \(91\) \(187\) \(79\) \(28\) \(44\) \(49\) \(27\) \(41\) \(56\) \(43\) \(28\)
              日期 \(12\) \(13\) \(14\) \(15\) \(16\) \(17\) \(18\) \(19\) \(20\) \(21\) \(22\)
              \(AQI\) \(28\) \(49\) \(94\) \(62\) \(40\) \(46\) \(48\) \(55\) \(44\) \(74\) \(62\)
              日期 \(23\) \(24\) \(25\) \(26\) \(27\) \(28\) \(29\) \(30\) \(31\)
              \(AQI\) \(50\) \(50\) \(46\) \(41\) \(101\) \(140\) \(221\) \(157\) \(55\)
              根据表中数据回答下列问题:
              \((\)Ⅰ\()\)求出\(2017\)年\(12\)月的空气质量指数的极差;
              \((\)Ⅱ\()\)根据\(《\)环境空气质量指数\((AQI)\)技术规定\((\)试行\()》\)规定:当空气质量指数为\(0~50\)时,空气质量级别为一级\(.\)从\(2017\)年\(12\)月\(12\)日到\(12\)月\(16\)这五天中,随机抽取三天,空气质量级别为一级的天数为\(ξ\),求\(ξ\)的分布列及数学期望;
              \((\)Ⅲ\()\)你认为该市\(2017\)年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.
            • 3.
              为评估设备\(M\)生产某种零件的性能,从设备\(M\)生产零件的流水线上随机抽取\(100\)件零件最为样本,测量其直径后,整理得到下表:
              直径\(/mm\) \(58\) \(59\) \(61\) \(62\) \(63\) \(64\) \(65\) \(66\) \(67\) \(68\) \(69\) \(70\) \(71\) \(73\) 合计
              件数 \(1\) \(1\) \(3\) \(5\) \(6\) \(19\) \(33\) \(18\) \(4\) \(4\) \(2\) \(1\) \(2\) \(1\) \(100\)
              经计算,样本的平均值\(μ=65\),标准差\(=2.2\),以频率值作为概率的估计值.
              \((1)\)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为\(X\),并根据以下不等式进行评判\((p\)表示相应事件的频率\()\):\(①p(μ-σ < X\leqslant μ+σ)\geqslant 0.6826.②P(μ-σ < X\leqslant μ+2σ)\geqslant 0.9544③P(μ-3σ < X\leqslant μ+3σ)\geqslant 0.9974.\)评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁\(.\)试判断设备\(M\)的性能等级.
              \((2)\)将直径小于等于\(μ-2σ\)或直径大于\(μ+2σ\)的零件认为是次品
              \((i)\)从设备\(M\)的生产流水线上随意抽取\(2\)件零件,计算其中次品个数\(Y\)的数学期望\(E(Y)\);
              \((ii)\)从样本中随意抽取\(2\)件零件,计算其中次品个数\(Z\)的数学期望\(E(Z)\).
            • 4.
              从某校高三上学期期末数学考试成绩中,随机抽取了\(60\)名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图:
              \((1)\)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分;
              \((2)\)若用分层抽样的方法从分数在\([30,50)\)和\([130,150]\)的学生中共抽取\(6\)人,该\(6\)人中成绩在\([130,150]\)的有几人?
              \((3)\)在\((2)\)抽取的\(6\)人中,随机抽取\(3\)人,计分数在\([130,150]\)内的人数为\(ξ\),求期望\(E(ξ)\).
            • 5.

              下列有关结论正确的个数为(    )

              \({①}\)小赵、小钱、小孙、小李到\(4\)个景点旅游,每人只去一个景点,设事件\(A{=}\)“\(4\)个人去的景点不相同”,事件\(B{=}\)“小赵独自去一个景点”,则\(P(A{|}B){=}\dfrac{2}{9}\);

              \({②}\)设\(a\),\(b{∈}R\),则“\(\log_{2}a{ > }\log_{2}b\)”是“\(2^{a{-}b}{ > }1\)”的充分不必要条件;

              \({③}\)设随机变量\(\xi\)服从正态分布\(N(\mu{,}7)\),若\(P(\xi{ < }2){=}P(\xi{ > }4)\),则\(\mu\)与\({Dξ}\)的值分别为\(3\),\(7\)

              A.\(0\)                        
              B.\(1\)                        
              C.\(2\)                        
              D.\(3\)
            • 6.

              下列说法错误的个数是(    )

              \(①xy\neq 10\)是\(x\neq 5\)或\(y\neq 2\)的充分不必要条件;

              \(②\)用反证法证明某命题时,对结论:“咱然数\(a\),\(b\),\(c\)中恰有一个是偶数”的正确假设为“自然数\(a\),\(b\),\(c\)中至少有两个偶数”;

              \(③\)离散型随机变量\(ξ\)的期望\(E(ξ)\)反映了\(ξ\)取值的概率的平均值;

              \(④\)用频率分布直方图估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之和;

              \(⑤\)可导函数\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)处取得极值,则\(f{{"}}(x_{0})=0\);

              A.\(1\)
              B.\(2\)
              C.\(3\)
              D.\(4\)
            • 7.

              在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为\(1:3\),且成绩分布在\([40,100]\),分数在\(80\)以上\((\)含\(80)\)的同学获奖\(.\)按文理科用分层抽样的方法抽取\(200\)人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图\((\)见下图\()\).


              \((I)\)在答题卡上填写下面的\(2×2\)列联表,能否有超过\(95\%\)的把握认为“获奖与学生的文理科有关”?

               

              文科生

              理科生

              合计

              获奖

              \(5\)

               

               

              不获奖

               

               

               

              合计

               

               

              \(200\)


              \((II)\)将上述调査所得的频率视为概率,现从该校参与竞赛的学生中,任意抽取\(3\)名学生,记“获奖”学生人数为\(X\),求\(X\)的分布列及数学期望.

              附表及公式:\({K}^{2}= \dfrac{n{\left(ad-bc\right)}^{2}}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)} \),其中\(n=a+b+c+d \)

            • 8. 某大学为调研学生在\(A{,}B\)两家餐厅用餐的满意度,从在\(A{,}B\)两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了\(100\)人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为\(60\)分\({.}\)整理评分数据,将分数以\(10\)为组距分成\(6\)组:\({[}0{,}10){,}{[}10{,}20){,}{[}20{,}30){,}{[}30{,}40){,}{[}40{,}50){,}{[}50{,}60{]}\),得到\(A\)餐厅分数的频率分布直方图,和\(B\)餐厅分数的频数分布表:

              定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下:

              \((1)\)在抽样的\(100\)人中,求对\(A\)餐厅评价“满意度指数”为\(0\)的人数;
              \((2)\)从该校在\(A{,}B\)两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取\(1\)人进行调查,试估计其对\(A\)餐厅评价的“满意度指数”比对\(B\)餐厅评价的“满意度指数”高的概率;
              \((3)\)如果从\(A{,}B\)两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由.

            • 9.

              袋中有分别写着“团团”和“圆圆”的两种玩具共\(7\)个且形状完全相同,从中任取\(2\)个玩具都是“圆圆”的概率为\( \dfrac{1}{7} \),\(A \)、\(B \)两人不放回从袋中轮流摸取一个玩具,\(A \)先取,\(B \)后取,然后\(A \)再取,\(……\)直到两人中有一人取到“圆圆”时即停止游戏\(.\)每个玩具在每一次被取出的机会是均等的,用\(X \)表示游戏终止时取玩具的次数.

              \((1)\)求\(X=4 \)时的概率;

              \((2)\)求\(X \)的数学期望.

            • 10. 有一批产品,其中有\(12\)件正品和\(4\)件次品,有放回地任取\(3\)件,若取到一件次品得\(2\)分,用\(Y\)表示得分数,则\(D(Y)=\)________.
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