知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
$4$月$23$日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了$100$名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间$($单位：$min)$的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于$60min$的学生称为“书虫”，低于$60min$的学生称为“懒虫”，
$(1)$求$x$的值并估计全校$3$ $000$名学生中“书虫”大概有多少名学生？$($将频率视为概率$)$
$(2)$根据已知条件完成下面$2×2$的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过$0.01$的前提下认为“书虫”与性别有关：

懒虫书虫合计

男 $15$

女 $45$

合计

$P(K^{2}\geqslant k_{0})$ $0.100$ $0.050$ $0.025$ $0.010$ $0.001$

$k_{0}$ $2.706$ $3.841$ $5.024$ $6.635$ $10.828$

难度：难

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2．
城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的$90$名候车乘客中随机抽取$15$人，将他们的候车时间作为样本分成$5$组，如表所示$($单位：$min)$：

组别候车时间人数

一 $[0,5)$ $2$

二 $[5,10)$ $6$

三 $[10,15)$ $4$

四 $[15,20)$ $2$

五 $[20,25]$ $1$

$(1)$估计这$90$名乘客中候车时间少于$10$分钟的人数；
$(2)$若从上表第三、四组的$6$人中选$2$人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

难度：难

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3．
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了$100$个网箱，测量各箱水产品的产量$($单位：$kg)$，其频率分布直方图如下：

$(1)$记$A$表示事件“旧养殖法的箱产量低于$50kg$”，估计$A$的概率；
$(2)$填写下面列联表，并根据列联表判断是否有$99\%$的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量$ < 50kg$
箱产量$\geqslant 50kg$
总计

旧养殖法

新养殖法

总计

$(3)$根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：

$P(K^{2}\geqslant K)$ $0.050$ $0.010$ $0.001$

$K$ $3.841$ $6.635$ $10.828$

$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$．

难度：难

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4．
某校高二年级有男生$105$人，女生$126$人，教师$42$人，用分层抽样的方法从中抽取$13$人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

同意不同意合计

教师 $1$

女生 $4$

男生 $2$

$(1)$请完成此统计表；
$(2)$试估计高二年级学生“同意”的人数；
$(3)$从被调查的女生中选取$2$人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．

难度：难

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5．
为使政府部门与群众的沟通日常化，某城市社区组织“网络在线问政”活动$.2015$年，该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政；$2016$年初，社区随机抽取了$60$名居民，对居民上网参政议政意愿进行调查$.$已知上网参与问政次数与参与人数的频数分布如表：

参与调查问卷次数 $[0,2)$ $[2,4)$ $[4,6)$ $[6,8)$ $[8,10)$ $[10,12]$

参与调查问卷人数 $8$ $14$ $8$ $14$ $10$ $6$

附：

$P(k^{2} > k_{0})$ $0.100$ $0.050$ $0.010$

$k_{0}$ $2.706$ $3.841$ $6.635$

$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
$(1)$若将参与调查问卷不少于$4$次的居民称为“积极上网参政居民”，请你根据频数分布表，完成$2×2$列联表，据此调查你是否有$99\%$的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”？

男女合计

积极上网参政议政 $8$

不积极上网参政议政

合计 $40$

$(2)$从被调查的人中按男女比例随机抽取$6$人，再从选取的$6$人中选出$3$人参加政府听证会，求选出的$3$人为$2$男$1$女的概率．

难度：难

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6．
某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校$200$名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间$($单位：分钟$)$进行调查，将收集的数据分成$[0,10).[10$，$20)$，$[20,30)$，$[30,40)$，$[40,50)$，$[50,60)$六组，并作出频率分布直方图$($如图$)$，将日均课外体育锻炼时间不低于$40$分钟的学生评价为“课外体育达标”．

课外体育不达标课外体育达标合计

男 $60$ ______ ______

女 ______ ______ $110$

合计 ______ ______ ______

$(1)$请根据直方图中的数据填写下面的$2×2$列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过$0.01$的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
$(2)$在$[0,10)$，$[40,50)$这两组中采取分层抽样，抽取$6$人，再从这$6$名学生中随机抽取$2$人参加体育知识问卷调查，求这$2$人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”的概率．
附参考公式与：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^{2}\geqslant k_{0})$ $0.15$ $0.05$ $0.025$ $0.010$ $0.005$ $0.001$

$k_{0}$ $2.702$ $3.841$ $5.024$ $6.635$ $7.879$ $10.828$

难度：难

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7．北京时间4月14日，是湖人当家球星科比•布莱恩特的退役日，当天有大量网友关注此事．某网上论坛有重庆网友200人，四川网友300人．为了解不同地区对“科比退役”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名网友，先分别统计他们在论坛的留言条数，再将留言条数分成5组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中留言不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名四川省网友的概率；
（2）规定留言不少于60条为“强烈关注”，否则为“一般关注”．
网友强烈关注一般关注合计
重庆市 a= b=
四川省 c= d=
合计
完成上表，并判断是否有90%以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关？
附：临界值表及参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，n=a+b+c+d．
P（K²≥x₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：难

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8．对长期吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（　　）

A．若Χ²的值大于6.635，我们有99%的把握认为长期吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石有关系，那么在1000个长期吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉的婴幼儿中必有999人患有肾结石病

B．从独立性检验可知有99%的把握认为吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石有关系时，我们说某一个婴幼儿吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉，那么他有99%的可能患肾结石病

C．若从统计量中求出有95%的把握认为吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误

D．以上三种说法都不正确

难度：难

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9．某学校在高一、高二两个年级学生中各抽取100人的样本，进行普法知识调查，其结果如表：
高一高二总计
合格人数 70 x 150
不合格人数 y 20 50
总计 100 100 200
（1）求x，y的值，用分层抽样的方法从样本的不合格同学中抽取15人的辅导小组，其中高一、高二各多少人？
（2）有没有99%的把握认为“高一、高二两个年级这次普法知识调查结果有差异”？
k₀ 5.024 6.635 7.879 10.828
P（k²≥k₀） 0.025 0.010 0.005 0.001
参考公式：k²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．

难度：难

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10．为贯彻“咬文嚼字抓理解，突出重点抓记忆”的学习思想．某校从高一年级和高二年级各选取100名同学进行现学段基本概念知识竞赛．图（1）和图（2）分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．
（1）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）
（2）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生现学段对基本知识的了解有差异”？
成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计
高一年级
高二年级
合计
附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%292%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．临界值表：
P（K²≥k） 0.10 0.05 0.010
k 2.706 3.841 6.635

难度：难

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0/40

进入组卷

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.100\)	\(0.050\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(10.828\)

组别	候车时间	人数
一	\([0,5)\)	\(2\)
二	\([5,10)\)	\(6\)
三	\([10,15)\)	\(4\)
四	\([15,20)\)	\(2\)
五	\([20,25]\)	\(1\)

\(P(K^{2}\geqslant K)\)	\(0.050\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(K\)	\(3.841\)	\(6.635\)	\(10.828\)

参与调查问卷次数	\([0,2)\)	\([2,4)\)	\([4,6)\)	\([6,8)\)	\([8,10)\)	\([10,12]\)
参与调查问卷人数	\(8\)	\(14\)	\(8\)	\(14\)	\(10\)	\(6\)

\(P(k^{2} > k_{0})\)	\(0.100\)	\(0.050\)	\(0.010\)
\(k_{0}\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(6.635\)

	箱产量\( < 50kg\)	箱产量\(\geqslant 50kg\)	总计
旧养殖法
新养殖法
总计

	男	女	合计
积极上网参政议政		\(8\)
不积极上网参政议政
合计	\(40\)

	课外体育不达标	课外体育达标	合计
男	\(60\)	______	______
女	______	______	\(110\)
合计	______	______	______

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.15\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(2.702\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

网友	强烈关注	一般关注	合计
重庆市	a=	b=
四川省	c=	d=
合计

P（K²≥x₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
x₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	高一	高二	总计
合格人数	70	x	150
不合格人数	y	20	50
总计	100	100	200

k₀	5.024	6.635	7.879	10.828
P（k²≥k₀）	0.025	0.010	0.005	0.001

	成绩小于60分人数	成绩不小于60分人数	合计
高一年级
高二年级
合计

	懒虫	书虫	合计
男		\(15\)
女			\(45\)
合计

	同意	不同意	合计
教师	\(1\)
女生		\(4\)
男生		\(2\)