知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

下列四个判断：
\(①\)某校高三一班和高三二班的人数分别是\(m\)，\(n\)，某次测试数学平均分分别是\(a\)，\(b\)，则这两个班的数学平均分为\( \dfrac {a+b}{2}\)；
\(②10\)名工人某天生产同一零件，生产的件数是\(15\)，\(17\)，\(14\)，\(10\)，\(15\)，\(17\)，\(17\)，\(16\)，\(14\)，\(12\)，设其平均数为\(a\)，中位数为\(b\)，众数为\(c\)，则有\(c > a > b\)；
\(③\)从总体中抽取的样本\((x_{1},y_{1})\)，\((x_{2},y_{2})\)，\(…\)，\((x_{n},y_{n})\)，若记\( \overline {x}= \dfrac {1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\)，\( \overline {y}= \dfrac {1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}y_{i}\)则回归直线\(y=bx+a\)必过点\(( \overline {x}, \overline {y})\)；
\(④\)已知\(ξ\)服从正态分布\(N(0,σ^{2})\)，且\(p(-2\leqslant ξ\leqslant 0)=0.3\)，则\(p(ξ > 2)=0.2\)；
其中正确的个数有\((\)　　\()\)

A．\(0\)个

B．\(1\)个

C．\(2\)个

D．\(3\)个

难度：难

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2．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了四次试验如下：

零件的个数\(x/\)个 \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)

加工的时间\(y/\)小时 \(2.5\) \(3\) \(4\) \(4.5\)

\((1)\)求\(y\)关于\(x\)的线性回归方程
\((2)\)试预测加工\(10\)个零件需要多少时间？
\( \hat b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overline {xy}}{ \sum\limits_{i=1}^{n} x_{ i }^{ 2 }-n \overline {x}^{2}}\) \( \hat a= \overline {y}- \hat b \overline {x}\)．

难度：难

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3．

下列关于残差图的叙述错误的是

A．通过残差图可以发现原始数据中的可疑数据，判断所建模型的拟合效果

B．残差图的纵坐标只能是残差，横坐标可以是编号，解释变量，也可以是预报变量

C．残差点分布的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，预报精度越高

D．残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越小，相关指数\(R^{2}\)越小

难度：难

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4．
某种产品的广告费支出\(x\)与销售额\(y(\)单位：万元\()\)之间有如下对应数据：

\(x\)
\(2\)

\(4\)

\(5\)

\(6\)

\(8\)

\(y\)
\(30\)

\(40\)

\(60\)

\(50\)

\(70\)

\((\)Ⅰ\()\)用最小二乘法求\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(\hat {y}=bx+a \)；

\((\)Ⅱ\()\)试预估销售额为\(95.5\)万元时，广告费支出大约为多少万元？参考数据：\(\sum\limits_{i=1}^{5}x_{i}^{2}=145 \)，\(\sum\limits_{i=1}^{5}y_{i}^{2}=13500 \)，\(\sum\limits_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=1380 \)

难度：难

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5．
下图是我国\(2008\)年至\(2014\)年生活垃圾无害化处理量\((\)单位：亿吨\()\)的折线图

\((\)Ⅰ\()\)由折线图看出，可用线性回归模型拟合\(y\)与\(t\)的关系，请用相关系数加以说明；

\((\)Ⅱ\()\)建立\(y\)关于\(t\)的回归方程\((\)系数精确到\(0.01)\)，预测\(2016\)年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：参考数据：\(\sum\limits_{i=1}^{7}{{{y}_{i}}}=9.32\)，\(\sum\limits_{i=1}^{7}{{{t}_{i}}{{y}_{i}}}=40.17\)，\(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{7}{{{({{y}_{i}}-\bar{y})}^{2}}}}=0.55\)，\(\sqrt{7}≈2.646\)．

参考公式：相关系数\(r= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{7}({t}_{i}- \bar{t})({y}_{i}- \bar{y})}{ \sqrt{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t}) \underset{i=1}{\overset{n}{{}^{2}∑}}({y}_{i}- \bar{y}{)}^{2}}}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n \bar{t \bar{y}}}{ \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t}{)}^{2}} \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}- \bar{y{)}^{2}}}}\)

回归方程\(\widehat{y}=\widehat{a}+\widehat{b}\,t\) 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：\(\hat {b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t})({y}_{i}-y)}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t}{)}^{2}},\hat {a}= \bar{y}-\hat {b} \bar{t} \widehat{a}{=}\bar{y}-\widehat{b}\,\bar{t}.\)

难度：难

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6．

\(20.\)某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜\(.\)过去\(50\)周的资料显示，该地周光照量\(X(\)小时\()\)都在\(30\)小时以上，其中不足\(50\)小时的周数有\(5\)周，不低于\(50\)小时且不超过\(70\)小时的周数有\(35\)周，超过\(70\)小时的周数有\(10\)周\(.\)根据统计，该基地的西红柿增加量\(y(\)百斤\()\)与使用某种液体肥料\(x(\)千克\()\)之间对应数据为如图所示的折线图．

\((1)\)依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合\(y\)与\(x\)的关系？请计算相关系数\(r\)并加以说明\((\)精确到\(0.01).(\)若\(|r| > 0.75\)，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合\()\)

\((2)\)蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量\(X\)限制，并有如下关系：

周光照量 \(X\) \((\)单位：小时\()\)

\(30 < X < 50\)

\(50\leqslant X\leqslant 70\)

\(X > 70\)

光照控制仪最多可运行台数

\(3\)

\(2\)

\(1\)

若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为\(3000\)元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损\(1000\)元\(.\)若商家安装了\(3\)台光照控制仪，求商家在过去\(50\)周周总利润的平均值．

附：相关系数公式\(r= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}\left({x}_{i}- \bar{x}\right)\left({y}_{i}- \bar{y}\right)}{ \sqrt{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{\left({x}_{i}- \bar{x}\right)}^{2}} \sqrt{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{\left({y}_{i}- \overset{-}{y}\right)}^{2}}} \)，参考数据\(\sqrt{0.3}\approx 0.55\)，\(\sqrt{0.9}\approx 0.95\)．

难度：难

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7．

\(2015\)年\(12\)月\(10\)日开始，武汉淹没在白色雾霾中，\(PM2.5\)浓度在\(200\)微克\(～300\)微克\(/\)立方米的范围，空气质量维持重度污染。某兴趣小组欲研究武昌区\(PM2.5\)浓度大小与患鼻炎人数多少之前的关系，他们分别到气象局与该地区某医院抄录了\(12\)月\(10\)日至\(15\)日的武昌区\(PM2.5\)浓度大小与该地区因患鼻炎而就诊的人数，整理得到如下资料：

日期

\(12\)月\(10\)日

\(12\)月\(11\)日

\(12\)月\(12\)日

\(12\)月\(13\)日

\(12\)月\(14\)日

\(12\)月\(15\)日

\(PM2.5\)浓度

超过\(200\)的部分为\(x\)

\((\)微克\(/\)立方米\()\)

\(10\)

\(11\)

\(13\)

\(12\)

\(8\)

\(5\)

就诊人数\(y(\)个\()\)

\(22\)

\(25\)

\(29\)

\(26\)

\(16\)

\(12\)

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取\(2\)组，用剩下的\(4\)组数据求线性回归方程，再用被选取的\(2\)组数据进行实验．

\((\)Ⅰ\()\)若选取的是\(10\)号与\(15\)号的两组数据，请根据\(11\)至\(14\)号的数据，求出\(y\)关于\(x\)的线性回归方程；附：对于一组数据\(({{x}_{1}},{{y}_{1}}),({{x}_{2}},{{y}_{2}}),.......({{x}_{n}},{{y}_{n}})\)，其回归直线\(\overset{\wedge }{{y}}\,=\overset{\wedge }{{a}}\,+\overset{\wedge }{{b}}\,x\)的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

\(\overset{\wedge }{{b}}\,=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-\overline{x})({{y}_{i}}-\overline{y})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\overline{x})}^{2}}}}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}-n{{\overline{x}}^{2}}},\overset{\wedge }{{a}}\,=\overline{y}-\overset{\wedge }{{b}}\,\overline{x}\)

\((\)Ⅱ\()\)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过\(2\)人，则认为得到的线性方程是理想的，该问该小组所得线性回归方程是否理想？

难度：难

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8．

已知下表所示数据的回归直线方程为\( \overset{\}{y} =4x-4\)，则实数\(a\)的值为( )

\(x\)		\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(y\)	\(3\)	\(7\)	\(11\)	\(a\)	\(21\)

A．\(16\)

B．\(18\)

C．\(20\)

D．\(22\)

难度：难

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9．

在一次对昼夜温差大小与种子发芽数之间的研究中，研究人员获得了一组样本数据：

温差\(x(℃)\)

\(13\)

\(12\)

\(11\)

\(10\)

\(8\)

发芽数\(y(\)颗\()\)

\(30\)

\(26\)

\(25\)

\(23\)

\(16\)

\((1)\)请根据上述数据，选取其中的前\(3\)组数据，求出\(y\)关于\(x\)的线性回归方程；
\((2)\)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过\(2\)颗，则认为得到的线性回归直线方程是可靠的，请问\((1)\)中所得的线性回归方程是否可靠？\(\begin{cases} \overset{\}{b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n \bar{xy}}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n{ \bar{x}}^{2}} \\ \overset{\}{a}= \bar{y}- \overset{\}{b} \bar{x}\end{cases} \)

难度：难

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10．

已知\(x\)、\(y\)取值如表：

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(y\)	\(1.3\)	\(m\)	\(3m\)	\(5.6\)	\(7.4\)

画散点图分析可知：\(y\)与\(x\)线性相关，且求得回归方程为 \(=x+1\)，则\(m\)的值\((\)精确到\(0.1)\)为( )

A．\(1.4\)

B．\(1.5\)

C．\(1.6\)

D．\(1.7\)

难度：难

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零件的个数\(x/\)个	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
加工的时间\(y/\)小时	\(2.5\)	\(3\)	\(4\)	\(4.5\)

周光照量 \(X\) \((\)单位：小时\()\)	\(30 < X < 50\)	\(50\leqslant X\leqslant 70\)	\(X > 70\)
光照控制仪最多可运行台数	\(3\)	\(2\)	\(1\)

温差\(x(℃)\)	\(13\)	\(12\)	\(11\)	\(10\)	\(8\)
发芽数\(y(\)颗\()\)	\(30\)	\(26\)	\(25\)	\(23\)	\(16\)