\((1)\)已知直线\(m\)过点\((2,4)\)且垂直于两平行直线\(x-y+1=0\)，\(x-y+2=0\)，求直线\(m\)的方程．

\((2)\)若直线\(l\)过点\((2,4)\)且被两平行直线\(x-y+1=0\)，\(x-y+2=0\)所截得的线段的中点在直线\(x+2y-3=0\)上，求直线\(l\)的方程。

已知曲线\(C\)的极坐标方程是\(ρ=4\cos θ.\)以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为\(x\)轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线\(l\)的参数方程是\(\begin{cases} x=1+t\cos α, \\ y=t\sin α \end{cases}(t\)是参数\()\)．

\((1)\)将曲线\(C\)的极坐标方程化为直角坐标方程；

\((2)\)若直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，且\(|AB|= \sqrt{14}\)，求直线\(l\)的倾斜角\(α\)的值．

若圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y-10=0\)上至少有三个不同点到直线\(l :ax+by=0\)的距离为\(2\sqrt{2}\) ，则直线\(l\)的倾斜角的取值范围是    ．

椭圆\(C\)：过点\(M(2,0)\)，且右焦点为\(F(1,0)\)，过\(F\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点\(.\)设点\(P(4,3)\)，记\(PA\)、\(PB\)的斜率分别为\(k_{1}\)和\(k_{2}\)．

​
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)如果直线\(l\)的斜率等于\(-1\)，求出\(k_{1}⋅k_{2}\)的值；
\((3)\)探讨\(k_{1}+k_{2}\)是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出\(k_{1}+k_{2}\)的取值范围．

已知双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的左右焦点分别为\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)，实轴的两个端点分别为\(A,B\)，\(P\)是双曲线右支上一点，满足直线\(PA\)与\(PB\)的斜率之积为\(24\)，且\(\left| OP \right|=\left| O{{F}_{2}} \right|\)，\(\left| P{{F}_{1}} \right|=\lambda \left| P{{F}_{2}} \right|\)，则\(\lambda \)的值为\((\)    \()\)

已知定直线\(l:y=x+3\)，定点\(A(2,1)\)，以坐标轴为对称轴的椭圆\(C\)过点\(A\)且与\(l\)相切．

\(y\)轴对应直线的倾斜角为(    )

\((1)\)若数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}={{n}^{2}}+n+1\)，则\({{a}_{n}}=\) ________________．

\((2)\)若椭圆\( \dfrac{x^{2}}{4}+ \dfrac{y^{2}}{k}=1\)的离心率\(e\)\(= \dfrac{2}{3}\)，则实数\(k\)的取值是______________________．

\((3)\)某观测站在城\(A\)南偏西\(20^{\circ}\)方向的\(C\)处，由城\(A\)出发的一条公路，走向是南偏东\(40^{\circ}\)，在\(C\)处测得公路距\(C\)处\(31\)千米的\(B\)处有一人正沿公路向城\(A\)走去，走了\(20\)千米后到达\(D\)处，此时\(C\)、\(D\)间的距离为\(21\)千米，问这人还要走千米可到达城\(A .\)

\((4)\)过点\(P(2,4)\)作两条互相垂直的直线分别交\(x\)轴、\(y\)轴于点\(A\)、\(B\)，则线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹方程为____________________．

\((1)\)设直线\(PF\)、\(QF\)的斜率分别为\(k\)、\(k{{'}}\)，求证：为定值；

\((2)\)若且\(\triangle APQ\)的面积为，求椭圆\(C\)的方程．