已知直线\({{l}_{1}}:2x+{{a}^{2}}y-2{{a}^{2}}-4=0\)，\({{l}_{2}}:ax-2y+4-2a=0\)，则：

\((1)\)若直线\({{l}_{2}}\)不经过第四象限，求\(a\)的取值范围；

\((2)\)若\(0 < a < 2\)，直线\({{l}_{1}}\)和直线\({{l}_{2}}\)与两坐标轴围成四边形，当\(a\)为何值时，四边形的面积最小，并求出最小值．

将一张坐标纸折叠一次，使得点\((0,2)\)与点\((4,0)\)重合，点\((7,3)\)与点\((\)\(m\)，\(n\)\()\)重合，则\(m\)\(+\)\(n\)\(=\)________．

如图，在平面直角坐标系\(xoy\)中，已知\(F_{1}(-4,0)\)，\(F_{2}(4,0)\)，\(A(0,8)\)，直线\(y=t(0 < t < 8)\)与线段\(AF_{1}\)、\(AF_{2}\)分别交于点\(P\)、\(Q.\)过点\(Q\)作直线\(QR/\!/AF_{1}\)交\(F_{1}F_{2}\)于点\(R\)，记\(ΔPRF_{1}\)的外接圆为圆\(C\)．

    \((1)\)求证：圆心\(C\)在定直线\(7x+4y+8=0\)上；

    \((2)\)圆\(C\)是否恒过异于点\(F_{1}\)的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．

已知平面上的动点\(P(\)\(x\)，\(y\)\()\)及两定点\(A(-2,0)\)，\(B(2,0)\)，直线\(PA\)，\(PB\)的斜率分别是 \(k\)\({\,\!}_{1}\)，\(k\)\({\,\!}_{2}\)且\({k}_{1}·{k}_{2}=- \dfrac{1}{4} \)．

\(①\)若\(OM⊥ON(O\)为坐标原点\()\)，证明点\(O\)到直线\(l\)的距离为定值，并求出这个定值

\(②\)若直线\(BM\)，\(BN\)的斜率都存在并满足\({k}_{BM}·{k}_{BN}=- \dfrac{1}{4} \)，证明直线\(l\)过定点，并求出这个定点．

双曲线\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1(a > 0)\)的左、右焦点分别为\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)，过\({{F}_{2}}\)作\(x\)轴垂直的直线交双曲线\(C\)于\(A,B\)两点，\(\Delta {{F}_{1}}AB\)的面积为\(12\)，抛物线\(E:{{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)\)以双曲线\(C\)的右顶点为焦点．

\((1)\)求抛物线\(E\)的方程；

\((2)\)如图，点\(P\left( -\dfrac{p}{2},t \right)\left( t\ne 0 \right)\)为抛物线\(E\)的准线上一点，过点\(P\)作\(y\)轴的垂线交抛物线于点\(M\)，连接\(PO\)并延长交抛物线于点\(N\)，求证：直线\(MN\)过定点．

一条光线从点\((1,-1)\)射出，经\(y\)轴反射后与圆\((x-2)^{2}+y^{2}=1\)相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为\((\)　　\()\)

动点\(A\)在圆\(C\)：\((x-1)^{2}+y^{2}=1\)上，动点\(B\)在直线\(l:x+y-4=0\)上，定点\(P\)的坐标为\(P(-2,2)\)，则\(|PB|+|AB|\)的最小值是________．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)与抛物线\(y\)\({\,\!}^{2}=4\)\(x\)相交于不同的\(A\)，\(B\)两点．

\((1)\)如果直线\(l\)过抛物线的焦点，求\( \overrightarrow{OA}· \overrightarrow{OB} \)的值；

\((2)\)如果\( \overrightarrow{OA}· \overrightarrow{OB} =-4\)，证明：直线\(l\)必过一定点，并求出该定点．