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          共50条信息

            • 1．
              如图，四棱锥\(S-ABCD\)的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的\( \sqrt {2}\)倍，\(P\)为侧棱\(SD\)上的点，且\(SD⊥PC\)．
              \((1)\)求二面角\(P-AC-D\)的大小；
              \((2)\)在侧棱\(SC\)上是否存在一点\(E\)，使得\(BE/\!/\)平面\(PAC\)？若存在，求\(SE\)：\(EC\)的值；若不存在，试说明理由．
              难度：难
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            • 2．
              在四边形\(ABCD\)中，对角线\(AC\)，\(BD\)垂直相交于点\(O\)，且\(OA=OB=OD=4\)，\(OC=3\)．
              将\(\triangle BCD\)沿\(BD\)折到\(\triangle BED\)的位置，使得二面角\(E-BD-A\)的大小为\(90^{\circ}(\)如图\().\)已知\(Q\)为\(EO\)的中点，点\(P\)在线段\(AB\)上，且\(AP= \sqrt {2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：直线\(PQ/\!/\)平面\(ADE\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求直线\(BD\)与平面\(ADE\)所成角\(θ\)的正弦值．
              难度：难
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            • 3．
              \(《\)九章算术\(》\)中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑\(.\)如图，在阳马\(P-ABCD\)中，侧棱\(PD⊥\)底面\(ABCD\)，且\(PD=CD\)，过棱\(PC\)的中点\(E\)，作\(EF⊥PB\)交\(PB\)于点\(F\)，连接\(DE\)，\(DF\)，\(BD\)，\(BE\)．
              \((1)\)证明：\(PB⊥\)平面\(DEF.\)试判断四面体\(DBEF\)是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角\((\)只需写出结论\()\)；若不是，说明理由；
              \((2)\)若面\(DEF\)与面\(ABCD\)所成二面角的大小为\( \dfrac {π}{3}\)，求\( \dfrac {DC}{BC}\)的值．
              难度：难
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            • 4．
              如图，在直三棱柱\(A_{1}B_{1}C_{1}-ABC\)中，\(AB=AC=AA_{1}\)，\(BC= \sqrt {2}AB\)，点\(D\)是\(BC\)的中点．
              \((I)\)求证：\(AD⊥\)平面\(BCC_{1}B_{1}\)；
              \((II)\)求证：\(A_{1}B/\!/\)平面\(ADC_{1}\)；
              \((III)\)求二面角\(A-A_{1}B-D\)的余弦值．
              难度：难
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            • 5．
              如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，侧棱\(A_{1}A⊥\)平面\(ABC\)，\(AC⊥BC\)，\(AC=1\)，\(BC=2\)，\(S\)，点\(D\)是\(AB\)的中点．
              \((I)\)证明：\(AC_{1}/\!/\)平面\(CDB_{1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)在线段\(AB\)上找一点\(P\)，使得直线\(AC_{1}\)与\(CP\)所成角的为\(60^{\circ}\)，求\( \dfrac {| \overrightarrow{AP}|}{| \overrightarrow{AB}|}\)的值．
              难度：难
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            • 6．
              在四棱锥\(P-ABCD\)中，平面\(PAD⊥\)平面\(ABCD\)，\(\triangle PAD\)为等边三角形，\(AB=AD= \dfrac {1}{2}CD\)，\(AB⊥AD\)，\(AB/\!/CD\)，点\(M\)是\(PC\)的中点．
              \((I)\)求证：\(MB/\!/\)平面\(PAD\)；
              \((II)\)求二面角\(P-BC-D\)的余弦值．
              难度：难
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            • 7．
              如图，已知棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的底面是菱形，且\(AA_{1}⊥\)面\(ABCD\)，\(∠DAB=60^{\circ}\)，\(AD=AA_{1}=1\)，\(F\)为棱\(AA_{1}\)的中点，\(M\)为线段\(BD_{1}\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(MF/\!/\)面\(ABCD\)；
              \((\)Ⅱ\()\)判断直线\(MF\)与平面\(BDD_{1}B_{1}\)的位置关系，并证明你的结论；
              \((\)Ⅲ\()\)求三棱锥\(D_{1}-BDF\)的体积．
              难度：难
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            • 8．
              如图，直四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AB/\!/CD\)，\(AB⊥AD\)，\(AD=AB=1.AA_{1}=CD=2.E\)为棱\(DD_{1}\)的中点．
              \((1)\)证明：\(B_{1}C_{1}⊥\)平面\(BDE\)；
              \((2)\)求二面角\(D-BE-C_{1}\)的大小．
              难度：难
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            • 9．
              如图，已知平面\(ADC/\!/\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}\)，\(B\)为线段\(AD\)的中点，\(\triangle ABC≈\triangle A_{1}B_{1}C_{1}\)，四边形\(ABB_{1}A_{1}\)为正方形，平面\(AA_{1}C_{1}C\)丄平面\(ADB_{1}A_{1}\)，\(A_{1}C_{1}=A_{1}A\)，\(∠C_{1}A_{1}A= \dfrac {π}{3}\)，\(M\)为棱\(A_{1}C_{1}\)的中点．
              \((I)\)若\(N\)为线段\(DC_{1}\)上的点，且直线\(MN/\!/\)平面\(ADB_{1}A_{1}\)，试确定点\(N\)的位置；
              \((\)Ⅱ\()\)求平面\(MAD\)与平面\(CC_{1}D\)所成的锐二面角的余弦值．
              难度：难
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            • 10．
              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是平行四边形，\(∠ADC=45^{\circ}\)，\(AD=AC=2\)，\(O\)为\(AC\)的中点，\(PO⊥\)平面\(ABCD\)且\(PO=6\)，\(M\)为\(BD\)的中点．
              \((1)\)证明：\(AD⊥\)平面\(PAC\)；
              \((2)\)求直线\(AM\)与平面\(ABCD\)所成角的正切值．
              难度：难
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