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          共50条信息

            • 1．

              用数学归纳法证明“对一切\(n∈N_{+}\)，都有\(2^{n} > n^{2}-2\)”这一命题，证明过程中应该验证的归纳奠基为\((\)    \()\)

              A．\(n=1\)时命题成立
              B．\(n=1\)，\(2\)时命题都成立
              C．\(n=3\)时命题成立
              D．\(n=1\)，\(2\)，\(3\)时命题都成立
              难度：难
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            • 2．

              已知函数\(f(x)=ax- \dfrac{b}{x}-2\ln x\)，\(f(1)=0\)．

              \((1)\)若函数\(f(x)\)在其定义域内为单调函数，求实数\(a\)的取值范围？

              \((2)\)若函数\(f(x)\)的图像在\(x=1\)处的切线的斜率为\(0\)，且\(a_{n+1}=f′\left( \left. \dfrac{1}{a_{n}+1} \right. \right)-na_{n}+1\)，若\(a_{1}\geqslant 3\)，求证：\(a_{n}\geqslant n+2\)．

              难度：难
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            • 3．

              用数学归纳法证明：\(1+\dfrac{n}{2}\leqslant 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{n}}}\leqslant \dfrac{1}{2}+n,(n\in {{N}^{*}})\)。

              难度：难
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            • 4． 用数学归纳法证明：（n∈N*）时第一步需要证明（　　）
              A．
              B．
              C．
              D．
              难度：难
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            • 5．

              用数学归纳法证明“\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+…+ \dfrac{1}{{2}^{n}-1} < n(n∈N*,n > 1) ?\)”由\(n=k(k > 1)\)不等式成立，推证\(n=k+1\)时，左边应增加的项数是(    )

              A．\(2^{k-1}\)     
              B． \(2^{k}-1\)    
              C．\(2^{k}\)
              D．\(2^{k}+1\)
              难度：难
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            • 6． 用数学归纳法证明：\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+⋯+ \dfrac{1}{{\left({2}^{n}-1\right)}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{n}-1}\left(n\geqslant 2\right) ( \)\(n\)\(∈N^{*})\)时第一步需要证明
              A．\(1 < 2- \dfrac{1}{2-1} \)
              B．\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{2}-1} \)  
              C．\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{2}-1} \)     
              D．\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+ \dfrac{1}{{4}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{2}-1} \)
              难度：难
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            • 7． 已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）+a3（x-1）3+…+an（x-1）n，（其中n∈N*）
              （1）求a0及Sn=
              n
              i=1
              ai              ；
              （2）试比较Sn与（n-2）2n+2n2的大小，并说明理由．
              难度：难
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            • 8． 已知正项数列{an}中，a1=1，an+1=1+
              an
              1+an
              (n∈N*)              ．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．
              难度：难
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            • 9． 设函数f（x）=x2-2（-1）klnx（k∈N*），f′（x）表示f（x）的导函数．
              （1）求函数y=f（x）的单调增区间；
              （2）当k为偶数时，数列{an}满足：a1=1，anf′（an）=an+12-3．证明：数列{an2}中的任意三项不能构成等差数列；
              （3）当k为奇数时，证明：对任意正整数都有[f′（x）]n-2n-1f′（xn）≥2n（2n-2）成立．
              难度：难
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            • 10． 已知数列{an}的通项公式为an=
              n+1
              2
              ，n=2k-1(k∈N*)
              2
              n
              2
              ，n=2k(k∈N*).

              设bn=
              a2n-1
              a2n
              ，Sn=b1+b2+…+bn              ．证明：当n≥6时，|Sn-2|＜
              1
              n
              ．
              难度：难
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