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          50条信息

            • 1.
              某工厂的某种产品成箱包装,每箱\(200\)件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品\(.\)检验时,先从这箱产品中任取\(20\)件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验\(.\)设每件产品为不合格品的概率都为\(p(0 < p < 1)\),且各件产品是否为不合格品相互独立.
              \((1)\)记\(20\)件产品中恰有\(2\)件不合格品的概率为\(f(p)\),求\(f(p)\)的最大值点\(p_{0}\).
              \((2)\)现对一箱产品检验了\(20\)件,结果恰有\(2\)件不合格品,以\((1)\)中确定的\(p_{0}\)作为\(p\)的值\(.\)已知每件产品的检验费用为\(2\)元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付\(25\)元的赔偿费用.
              \((i)\)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为\(X\),求\(EX\);
              \((ⅱ)\)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
            • 2.
              一批产品的二等品率为\(0.02\),从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取\(100\)次,\(X\)表示抽到的二等品件数,则\(DX=\) ______
            • 3.
              设\(A\),\(B\)为曲线\(C\):\(y= \dfrac {x^{2}}{4}\)上两点,\(A\)与\(B\)的横坐标之和为\(4\).
              \((1)\)求直线\(AB\)的斜率;
              \((2)\)设\(M\)为曲线\(C\)上一点,\(C\)在\(M\)处的切线与直线\(AB\)平行,且\(AM⊥BM\),求直线\(AB\)的方程.
            • 4.
              设抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点为\(F\),准线为\(l.\)已知点\(C\)在\(l\)上,以\(C\)为圆心的圆与\(y\)轴的正半轴相切于点\(A.\)若\(∠FAC=120^{\circ}\),则圆的方程为 ______
            • 5.
              为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取\(16\)个零件,并测量其尺寸\((\)单位:\(cm).\)根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布\(N(μ,σ^{2}).\)
              \((1)\)假设生产状态正常,记\(X\)表示一天内抽取的\(16\)个零件中其尺寸在\((μ-3σ,μ+3σ)\)之外的零件数,求\(P(X\geqslant 1)\)及\(X\)的数学期望;
              \((2)\)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在\((μ-3σ,μ+3σ)\)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
              \((ⅰ)\)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
              \((ⅱ)\)下面是检验员在一天内抽取的\(16\)个零件的尺寸:
              \(9.95\) \(10.12\) \(9.96\) \(9.96\) \(10.01\) \(9.92\) \(9.98\) \(10.04\)
              \(10.26\) \(9.91\) \(10.13\) \(10.02\) \(9.22\) \(10.04\) \(10.05\) \(9.95\)
              经计算得\( \overset{ .}{x}= \dfrac {1}{16} \sum\limits_{i=1}^{16}x_{i}=9.97\),\(s= \sqrt { \dfrac {1}{16} \sum\limits_{i=1}^{16}(x_{i}- \overset{ .}{x})^{2}}= \sqrt { \dfrac {1}{16}( \sum\limits_{i=1}^{16}x_{i}^{2}-16 \overset{ .}{x}^{2})}≈0.212\),其中\(x_{i}\)为抽取的第\(i\)个零件的尺寸,\(i=1\),\(2\),\(…\),\(16\).
              用样本平均数\( \overset{ .}{x}\)作为\(μ\)的估计值\( \overset{\hat{} }{\mu }\),用样本标准差\(s\)作为\(σ\)的估计值\( \overset{\hat{} }{\sigma }\),利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除\(( \overset{\hat{} }{\mu }-3 \overset{\hat{} }{\sigma }, \overset{\hat{} }{\mu }+3 \overset{\hat{} }{\sigma })\)之外的数据,用剩下的数据估计\(μ\)和\(σ(\)精确到\(0.01)\).
              附:若随机变量\(Z\)服从正态分布\(N(μ,σ^{2})\),则\(P(μ-3σ < Z < μ+3σ)=0.9974\),\(0.9974^{16}≈0.9592\),\( \sqrt {0.008}≈0.09\).
            • 6.
              已知椭圆\(C\):\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\),四点\(P_{1}(1,1)\),\(P_{2}(0,1)\),\(P_{3}(-1, \dfrac { \sqrt {3}}{2})\),\(P_{4}(1, \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)中恰有三点在椭圆\(C\)上.
              \((1)\)求\(C\)的方程;
              \((2)\)设直线\(l\)不经过\(P_{2}\)点且与\(C\)相交于\(A\),\(B\)两点\(.\)若直线\(P_{2}A\)与直线\(P_{2}B\)的斜率的和为\(-1\),证明:\(l\)过定点.
            • 7.
              在直角坐标系\(xOy\)中,曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=3\cos θ \\ y=\sin θ\end{cases} (θ\)为参数\()\),直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=a+4t \\ y=1-t\end{cases} (t\)为参数\()\).
              \((1)\)若\(a=-1\),求\(C\)与\(l\)的交点坐标;
              \((2)\)若\(C\)上的点到\(l\)距离的最大值为\( \sqrt {17}\),求\(a\).
            • 8.
              设圆\(x^{2}+y^{2}+2x-15=0\)的圆心为\(A\),直线\(l\)过点\(B(1,0)\)且与\(x\)轴不重合,\(l\)交圆\(A\)于\(C\),\(D\)两点,过\(B\)作\(AC\)的平行线交\(AD\)于点\(E\).
              \((\)Ⅰ\()\)证明\(|EA|+|EB|\)为定值,并写出点\(E\)的轨迹方程;
              \((\)Ⅱ\()\)设点\(E\)的轨迹为曲线\(C_{1}\),直线\(l\)交\(C_{1}\)于\(M\),\(N\)两点,过\(B\)且与\(l\)垂直的直线与圆\(A\)交于\(P\),\(Q\)两点,求四边形\(MPNQ\)面积的取值范围.
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