知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x|x-1|+alnx．
（1）当a=-1时，求f（x）在[1，e]上的最大值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=x|x+1|-x-2．
（1）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值；
（2）是否存在区间[m，n]，使得函数的定义域与值域均为[m，n]，若存在，请求出所有可能的区间[m，n]，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．已知f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函数，g(x)=x-a
x
在（0，1）上是减函数．
（1）求a的值；
（2）设函数φ(x)=2bx-
1
x2
在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求实数b的取值范围；
（3）设h(x)=f′(x)-g(x)-2
x
+
3
x
，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）．

难度：较难

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4．下列命题中
①对于每一个实数x，f（x）是y=2-x²和y=x这两个函数中的较小者，则f（x）的最大值是1．
②已知x₁是方程x+lgx=3的根，x₂是方程x+10^x=3的根，则x₁+x₂=3．
③函数f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函数，其定义域为[a-1，2a]，则f（x）的图象是以（0，1）为顶点，开口向下的抛物线．
④若集合P={x|x=3m+1，m∈N⁺}，Q={x|x=5n+2，n∈N⁺}，则P∩Q={x|x=15m-8，m∈N⁺}
⑤若函数f（x）在（-∞，+∞）上递增，且a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
其中正确的命题的序号是．

难度：较难

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5．已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），图象关于y轴对称，且当x＜0时，f′（x）＞
f(x)
x
恒成立，设a＞1，则
4af(a+1)
a+1
，2
a
f（2
a
），（a+1）f（
4a
a+1
）的大小关系为．

难度：中等

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6．已知函数y=f（x）是定义域为R的奇函数．
（1）证明：f（0）=0；
（2）若y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，判断y=f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）时函数值的正、负符号情况．

难度：中等

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