知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=
n2+n
2
，数列{b_n}的通项为b_n=f（n），且f（n）满足：①f（1）=
1
2
；②对任意正整数m，n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立．
（1）求a_n与b_n；
（2）设数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，求T_n．

难度：中等

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2．对于函数f（x），若存在给定的实数对（a，b），对定义域中的任意实数x，都有f（a+x）•f（a-x）=b成立，则称函数f（x）为“Ψ函数”．
（Ⅰ）函数f（x）=e^x是“Ψ函数”，求出所有实数对（a，b）满足的关系式，并写出两个实数对；
（Ⅱ）判断函数f（x）=sinx是否为“Ψ函数”，并说明理由．

难度：中等

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3．设函数f（x）=ax²+b，其中a，b是实数．
（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；
（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=a^x+b（a＞0，a≠1）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（3）=8．
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式|x-1|＜m的解集为（b，a），求实数m的值．

难度：中等

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5．已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足f（2）=1．
（1）求f(4)，f(
1
2
)的值；
（2）求满足f（2x）-f（x-3）＞2的x的取值范围．

难度：中等

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6．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）指出函数f（x）=
k
x
（k≠0，k为常数）与集合M的关系？请说明理由；
（2）证明：函数f（x）=（
1
2
）^x+
3
8
x²∈M．

难度：中等

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7．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于定义域内任意x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y），且函数在定义域内为单调递减函数．
（Ⅰ）求f(1)，f(a)+f(
1
a
)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点；
（Ⅲ）求满足不等式f（2m+1）+f（m）＞0的实数m的范围．

难度：中等

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8．已知函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1
（1）判断并证明f（x）的单调性；
（2）若f（4）=3，解不等式f（3m²-m-2）＜2．

难度：中等

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9．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：
①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＞0；
③f（3）=1，
（1）求f（1），f(
1
3
)的值；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性，并用定义给出证明；
（3）对于定义域内的任意实数x，f（kx）+f（4-x）＜2（k为常数，且k＞0）恒成立，求正实数k的取值范围．

难度：较难

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10．已知函数f（x），对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且f(1)=-
1
2
．
（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；
（Ⅱ）当-8≤x≤10时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x²-m）-2f（|x|），判断函数g（x）最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．

难度：较难

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