知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
ex
ex-1
，（x＞0）；
（1）求函数y=f（x）的图象在点（ln2，f（ln2））处的切线方程；
（2）函数g（x）=
k
x+1
，（x＞0，k∈N^*），若f（x）＞g（x）在定义域内恒成立，求k的最大值．

难度：中等

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2．设函数f（x）=x³-
9
2
x²+6x-a．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线在x轴上的截距为1，求a的值
（2）求函数f（x）的极值．
（3）若方程f（x）=0有且仅有三个实根，求实数a的取值范围．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=
xlnx
x-1
．
（1）求曲线f（x）在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）求证：
2016 2015
2015 2016
＞
2015
2016
．

难度：中等

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4．已知f（x）=
x
ex-1
，g（x）=（2-a）x-2lnx+a-2．
（Ⅰ）当a=2时，求g（x）在（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若方程g（x）=0在（0，
1
2
）上无实数根，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若对于∀x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同实数x_i（i=1，2），使得f（x₀）=g（x_i），求实数a的取值范围．

难度：较难

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5．已知曲线C₁：y=ax²上点P处的切线L₁，曲线C₂：y=bx³上点A（1，b）处的切线为L₂，且L₂⊥L₁，垂足M（2，2），求a、b的值及点P的坐标．

难度：中等

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6．已知承数f（x）=
1+μln(x+1)
λx
（λ，μ∈R），g（x）=
k
x+1
，若函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=-（
1
2
+1n2）x+
3
2
+2ln2．
（1）求λ，μ的值；
（2）求最大的正整数k，∀c＞0，∃b∈（-1，c），且f（c）=g（b）．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=（x²+ax）e^x的两个极值点为x₁，x₂且x₁＜x₂，x₁+x₂=-2-
5
，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=kx+1
（1）求k，x₁，x₂的值；
（2）当m≤-e时，求证：[f（x）+2e^x]•[（x-2）e^x-m+1]＞
3
4
e^x．

难度：中等

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8．设函数f（x）=x²-ln（x+a）+b，g（x）=x³
（1）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是x+y=0，求实数a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈（0，+∞）时，求证：f（x）＜g（x）；
（Ⅲ）证明：对于任意的正整数n，不等式1+
1
e4
+
1
e18
+…+
1
e(n-1)n2
＜
n(n+3)
2
成立．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=
1
2
ax²+2x，g（x）=lnx．
（1）如果函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上是单调减函数，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a＞0，使得方程g（x）=xf′（x）-x（2a+1）在区间（
1
e
，e）内有解，若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）设r（x）=x²-ax+g（
1+ax
2
）对于任意的a∈（1，2），总存在x₀∈[
1
2
，1]，使不等式r（x）＞k（1-a²）成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=aln（x+1）+
1
x+1
+2x-1．
（1）当a=2时，求函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；
（2）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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