知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若曲线C₁：y=ax³-6x²+12x与曲线C₂：y=e^x在x=1处的两条切线互相平行，则a的值为．

难度：中等

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2．若点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的距离最小时点P的坐标为．

难度：较易

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3．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+
1
2
x2-bx．
（1）求实数a的值；
（2）设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，记t=
x1
x2
，若b≥
13
3
，
①t的取值范围；
②求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=x+alnx，g（x）=f（x）+
1
2
x2-bx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（3）在（2）的条件下，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，记t=
x1
x2
，若b≥
13
3
，t的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=（a-1）x+xlnx在点（1，f（1））处的切线斜率为1．
（Ⅰ）求g（x）=
f(x)
x-1
的单调区间；
（Ⅱ）若m＞n＞1，求证：
m n
n m
＞
n
m
．

难度：较难

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6．已知f（x）=
m+ln(2x+1)
2x+1
．（m∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x-2y-2016=0垂直，求函数f（x）的极值；
（2）若关于t的函数F（t）=lnt+t²-3t-
1
2016
(2x+1)2f′（x）在x∈[
e-1
2
，
e2-1
2
]时恒有3个不同的零点，试求实数m的范围．（f′（x）为f（x）的导函数，e是自然对数的底数）

难度：中等

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7．已知函数f（x）=ax²-
1
2
x+2ln（x+1）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-ln（x+1），当x∈[0，+∞）时，h（x）≤
1
2
x恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）≥x-1；
（Ⅲ）若f(x)≥ax2+
2
a
(a≠0)在区间（0，+∞）上恒成立，求a的最小值．

难度：较难

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9．已知f（x）=2lnx-
1
3
x2+kx．
（1）当k=
2
3
时，求函数y=f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）讨论g（x）=f（x）+
4
3
x2的单调性；
（3）若函数h（x）=xf（x）在定义域内单调递减，k∈Z，求k的最大值．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=
alnx+b
ex
（a，b为常数，无理数e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=
1
e
．
（1）求a，b的值；
（2）证明不等式1-x-xlnx＜
ex
x+1
(1+e-2)．

难度：较难

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