知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
ex
ex-1
，（x＞0）；
（1）求函数y=f（x）的图象在点（ln2，f（ln2））处的切线方程；
（2）函数g（x）=
k
x+1
，（x＞0，k∈N^*），若f（x）＞g（x）在定义域内恒成立，求k的最大值．

难度：中等

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2．设函数f（x）=2lnx-kx+
1
x
（k为常数）．
（1）当k=0时，求函数f（x）的最值；
（2）若k≠0，讨论函数f（x）的单调性．

难度：较难

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3．某地有如图所示的一块不规则的非农业用地ABCO，且AB⊥BC，OA∥BC，AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以O为顶点，开口向上，且对称轴平行于AB的抛物线的一段．当地政府为科技兴市，欲将该地规划建成一个矩形高科技工业园区PMBN，矩形的相邻两边BM，BN分别落在AB，BC上，顶点P在曲线段OC上．问应如何规划才能使矩形园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1 km²）．

难度：中等

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4．已知函数f(x)=
1
2
x2-(a+
1
a
)x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（Ⅱ）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a∈(0，
1
2
)，证明对任意x1，x2∈[
1
2
，1](x1≠x2)，
|f(x1)-f(x2)|
x
2
1
-
x
2
2
＜
1
2
恒成立．

难度：较难

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5．设函数f（x）=
e2-1
x
，x≠0．其中e=2.71828…
（1）设h（x）=f（x）+
1
x
，求函数h（x）在[
1
2
，2]上的值域；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）-1|＜a成立．

难度：较难

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6．已知f（x）=e^2x+（1-2t）e^x+t²
（1）若g（t）=f（1），讨论关于t的函数y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；
（2）若对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2-cosx，求a的范围．

难度：较难

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7．设函数f（x）=lnx-ax在点A（1，f（1））处的切线为l．
（1）证明：无论a为何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）；
（2）设点Q（x₀，f（x₀）），当x₀＞1时，直线QA的斜率恒小于2，求实数a的取值范围．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=x-1-alnx（其中a为参数）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意x＞0都有f（x）≥0成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为曲线y=f（x）上的两点，且0＜x₁＜x₂，设直线AB的斜率为k，x0=
x1+x2
2
，当k＞f'（x₀）时，证明a＜0．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=x³-
1
2
mx2-1的导函数为f′（x），g（x）=e^mx+f′（x）．
（Ⅰ）若f（2）=11，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明函数g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤e+1，求m的取值范围．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=ln（1+x）（x＞0）．
（Ⅰ）证明：
x
1+x
＜f(x)；
（Ⅱ）比较2015²⁰¹³与2014²⁰¹⁴的大小；
（Ⅲ）给定正整数n（n＞2015），n个正实数x₁，x₂，…，x_n满足x₁+x₂+…+x_n=1，
证明：(
x12
1+x1
+
x22
1+x2
+…+
xn2
1+xn
)2015＞(
1
2016
)n．

难度：较难

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