知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x．（其中e是自然对数的底数）
（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x₀，y₀），求证：x₀=1；
（Ⅱ）令F(x)=
f(x)
g(x)
，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

难度：难

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2．已知函数f（x）=2x²-xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是．

难度：中等

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3．若（x+
2
x
）ⁿ的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y=
a
6
x与曲线y=x²所围成的封闭区域面积为．

难度：较易

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4．
∫
π
0
2sin2
x
2
dx+
∫
1
0
1-x2
dx= ．

难度：较易

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5．先阅读下面的推理过程，然后完成下面问题：
在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的两边对x求导，即（cos2x）′=（2cos²x-1）′；
由求导法则得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx）化简后得等式sin2x=2sinxcosx．
（Ⅰ）已知等式（1+x）ⁿ=
C
0
n
+
C
1
n
x+
C
2
n
x²+…+
C
n-1
n
x^n-1+
C
n
n
xⁿ（x∈R，整数n≥2），证明：n[（1+x）^n-1-1]=
n
k=2
k
C
k
n
x^k-1；
（Ⅱ）设n∈N^*，x∈R，已知（2+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令b_n=
n(n2+1)(a0-2n-1)
a1+2a2+3a3+…+nan
，求数列{b_n}的最大项．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在
x≥0
x-y≥0
，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）将函数y=f（x）的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数y=g（x）的图象，试证明：当a=
1
2
时，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

难度：较难

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7．设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）导函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当k为奇数时，设b_n=
1
2
f′（n）-n，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明不等式（1+b_n）
1
bn+1
＞e对一切正整数n均成立，并比较S₂₀₁₂-1与ln2012的大小．

难度：较难

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8．设定义在R上的函数f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x （a_i∈R，i=0，1，2，3），当x=-
2
2
时，f （x）取得极大值
2
3
，并且函数y=f′（x）的图象关于y轴对称．
（1）求f （x）的表达式；
（2）试在函数f （x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上；
（3）求证：|f（sinx）-f（cosx）|≤
2
2
3
（x∈R）．

难度：较难

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9．已知正项数列{a_n}中a₁=2，点(
an
，an+1)在函数f(x)=
1
3
x3+x的导函数y=f'（x）图象上，数列{b_n}中，点（b_n，S_n）在直线y=-
1
2
x+3上，其中S_n是数列{b_n}的前n项和（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足cn=
1
2
anbn，且数列{c_n}的前n项和T_n，求证：Tn＜
15
4
．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，求实数a的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f′（x）-6，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0成立，求实数x的取值范围；

难度：较难

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