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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}中，a1=2，且2an=an-1+1(n≥2，n∈N+)．
              （I）求证：数列{an-1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
              （Ⅱ）设bn=n（an-1），数列{bn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn＜4．
              难度：中等
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            • 2． 已知数列{an}的首项a1=5，且an+1=2an+1（n∈N*）．
              （Ⅰ）证明：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
              （Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn．
              难度：中等
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            • 3． 已知递增的等比数列{an}满足：a2=4，a1+a2+a3=14
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）证明：数列{an}中任意三项不能构成等差数列．
              难度：中等
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            • 4． 已知首项为1的正项数列{an}满足an+12+an2＜
              5
              2
              an+1an              ，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和．
              （1）若a2=
              3
              2
              ，a3=x，a4=4，求x的取值范围；
              （2）设数列{an}是公比为q的等比数列，若
              1
              2
              Sn              ＜Sn+1＜2Sn，n∈N*，求q的取值范围；
              （3）若a1，a2，…，ak（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+ak=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，ak．
              难度：中等
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            • 5． 已知成等比数列的三个数的乘积为64，且这三个数分别减去1、2、5后又成等差数列，求这三个数．
              难度：中等
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            • 6． 已知{an}是等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，a3+a4=12．
              （1）求a1+a2+a3+a4+a5；
              （2）设bn=10-an，数列{bn}的前n项和为Sn，若b1≠b2，则n为何值时，Sn最大？Sn最大值是多少？
              难度：中等
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            • 7． 已知数列{xn}满足x1=1，x2=λ，并且
              xn+1
              xn
              =λ
              xn
              xn-1
              （λ为非零常数，n=2，3，4，…）．
              （Ⅰ）若x1，x3，x5成等比数列，求λ的值；
              （Ⅱ）设0＜λ＜1，常数k∈N*，证明
              x1+k
              x1
              +
              x2+k
              x2
              +…+
              xn+k
              xn
              ＜
              λk
              1-λk
              (n∈N*)              ．
              难度：中等
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            • 8． 已知在等比数列{an}中，an+1＞an，对n∈N*恒成立，且a1a4=8，a2+a3=6．
              （Ⅰ）求数列{an}的通项公式（
              Ⅱ）若数列{bn}满足
              a1
              b1
              +
              3a2
              b2
              +…+
              (2n-1)an
              bn
              =n，（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．
              难度：中等
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            • 9． 已知等差数列{an}的首项为1，等比数列{bn}的前两项为a2，a5且公比为3，记数列{an}的前n项和为An，数列{bn}的前n项和为Bn．
              （I）求An，Bn；
              （Ⅱ）如果
              an
              An
              ≥
              bn
              Bn
              ，试求所有正整数n的值．
              难度：中等
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            • 10． 若存在一数列的前n项为nan，则称该数列为数列{an}的“一阶衍生数列”，记作{（an）1}；同样的，若存在一数列的前n项和为n（an）1，则称该数列为数列{an}的“二阶衍生数列”，记作{（an）2}．记（am）k为数列{an}的“k阶衍生数列”中的第m项．己知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1．
              （1）写出数列{（a2）n-1}的前四项；
              （2）求证：对任意给定的m≥2且m∈N+，数列{（am）n-1}为等比数列．
              难度：较难
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