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          共50条信息

            • 1． 若数列{an}中不超过f（m）的项数恰为bm（m∈N*），则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{an}生成{bm}的控制函数．
              （1）已知an=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；
              （2）已知an=2n，且f（m）=m，求{bm}的前m项和Sm；
              （3）已知an=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{bm}中，b1，b2，b3是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．
              难度：较难
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            • 2． 已知a1，a2，…，an是由m（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{bn}满足bn=n+1-ak（k=1，2，…，n）．
              （1）当n=3时，写出数列{an}和{bn}，使得a2=3b2；
              （2）证明：当n为正偶数时，不存在满足ak=bk（k=1，2，…，n）的数列{an}；
              （3）若c1，c2，…，cn是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出ck（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c1+2c2+…+ncn．
              （参考：12+22+…+n2=
              1
              6
              n（n+1）（2n+1））
              难度：中等
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            • 3． 200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h-x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=
              ax
              ax+2
              的图象过点(1，
              2
              3
              )              ．
              （1）求a的值；
              （2）化简h(0)+h(
              1
              9
              )+h(
              2
              9
              )+…+h(
              8
              9
              )+h(1)              ；
              （3）设an=h(0)+h(
              1
              n
              )+h(
              2
              n
              )+…+h(
              n-1
              n
              )+h(1)              ，bn=
              1
              4an•an+1
              ，记数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＜2λan+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
              难度：中等
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            • 4． 若数列{an}满足a2-a1＜a3-a2＜a4-a3＜…an+1-an＜…，则称数列{an}为“上进数列”，若数列{an}是上进数列，且其通项an=λ•2n-n2（n∈N*，λ≠0），则λ的取值范围是    ．
              难度：较难
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            • 5． 已知数列{an}的各项均为整数，其前n项和为Sn．规定：若数列{an}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r-1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{an}为“r关联数列”．
              （1）若数列{an}为“6关联数列”，求数列{an}的通项公式；
              （2）在（1）的条件下，求出Sn，并证明：对任意n∈N*，anSn≥a6S6；
              （3）已知数列{an}为“r关联数列”，且a1=-10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+ak-1+ak=a1+a2+…+am-1+am？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 6． 定义：对于数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（xn+1-p）（xn-p）＜0成立，那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”．
              （1）设an=2n-1，bn=qn（-1＜q＜0），n∈N*，判断数列{an}、{bn}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
              （2）已知“p-摆动数列”{cn}满足：cn+1=
              1
              cn+1
              ，c1=1．求常数p的值；
              （3）设dn=(-1)n•( 2n-1)，n∈N*，且数列{dn}的前n项和为Sn．求证：数列{Sn}是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．
              难度：较难
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            • 7． 已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N*，数列{an}满足
              1
              an+1
              =f′(
              1
              an
              )              ，且a1=4．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）记bn=
              		anan+1
              ，求数列{bn}的前n项和Tn．
              （3）并求出Tn的最小值．
              难度：中等
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            • 8． 先阅读下面的推理过程，然后完成下面问题：
              在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的两边对x求导，即（cos2x）′=（2cos2x-1）′；
              由求导法则得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx）化简后得等式sin2x=2sinxcosx．
              （Ⅰ）已知等式（1+x）n=
              C
              0
              n
              +
              C
              1
              n
              x+
              C
              2
              n
              x2+…+
              C
              n-1
              n
              xn-1+
              C
              n
              n
              xn（x∈R，整数n≥2），证明：n[（1+x）n-1-1]=
              n
              k=2
              k
              C
              k
              n
              xk-1；
              （Ⅱ）设n∈N*，x∈R，已知（2+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，令bn=
              n(n2+1)(a0-2n-1)
              a1+2a2+3a3+…+nan
              ，求数列{bn}的最大项．
              难度：较难
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            • 9． 已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．
              （1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
              （2）按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项：
              第1次从数列{an}中取a1，
              第2次从数列{bn}中取b1，b2，
              第3次从数列{an}中取a2，a3，a4，
              第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b6，
              …
              第2n-1次从数列{an}中继续依次取2n-1个项，
              第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项，
              …
              由此构造数列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{cn}的前n项和为Sn，求满足Sn＜22014的最大正整数n．
              难度：较难
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            • 10． 已知数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n∈N*都有（1-p）Sn=p-pan（p为大于1的常数），记f（n）=
              1+
              C
              1
              n
              a1+
              C
              2
              n
              a2+…+
              C
              n
              n
              an
              2nSn
              ．
              （1）求an；
              （2）求证：f（1）+f（2）+…+f（2n-1）≥（2n-1）f（n），（n∈N*）．
              难度：较难
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