知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n+2．
（I）求证：{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=
n
an+2
，求和S_n=b₁+b₂+…+b_n，并证明：∀n∈N*，
1
5
≤Sn＜
4
5
．

难度：中等

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2．设已知F为抛物线C：y²=4nx（n∈N₊）的焦点，P为抛物线C上的一动点，定点A（1，1），动点P到点A，F的距离和的最小值记为a_n；b₁=9，b_n+1=
b
2
n
+2b_n，c_n=
cos(πanan+1)
cos
πan
3
cos
πan+1
3

（I）证明：{lg（b_n+1）}是等比数列，并求bn．．
（Ⅱ）求a_n，并求数列{a_n•lg（b_n+1）}前n项的和Sn，
（Ⅲ）求数列{c_n}前n项的和Tn..

难度：较难

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3．已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为k_n=
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列{A_n}的横坐标构成数列{x_n}，其中x₁=
11
7
．
（I）求x_n与x_n+1的关系式；
（II）令b_n=
1
xn-2
+
1
3
，求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

难度：较难

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4．设数列{a_n}，a₁=4，a_n+1=3a_n+2n-1
（1）求证{a_n+n}是等比数列
（2）求a_n．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=
3x
2x+1
，数列{a_n}的首项a₁=t＞0，且a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若t=
3
5
，证明：{
1
an
-1}是等比数列并求出{a_n}的通项公式；
（2）若a_n+1＞a_n对一切n∈N^*都成立，求t的取值范围．

难度：中等

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6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，且2T_n=4S_n-（n²+n），n∈N^*．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）设b_n=
n+1
an+1
，比较b₁+b₂+…+b_n与3的大小．

难度：中等

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7．设数列{a_n}的前n项和为S_n．且a₁+2a₂3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求证：数列{S_n+2}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=
an+1
2
-2^n-1，已知a₁=t，则下列说法正确的是
①数列{S_n+2ⁿ}是等比数列；
②当t≠-2时，数列{a_n}的通项公式a_n=2（t+2）•3^n-2-2^n-1；
③若a_n+1≤a_n成立，则t的范围是t≤-
3
2
；
④若a_n+1≥a_n，则t的最小值是-2．

难度：较易

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9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有S_n=
an-1
λ
（λ≠0.1）．
（Ⅰ）求证：{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）若λ=
1
2
，且b_n=
1
log4an•log4an+1
，{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

难度：中等

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