知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于给定的正整数n，若等差数列a₁，a₂，a₃，…满足a₁²+a_2n+1²≤10，则S=a_2n+1+a_2n+2+a_2n+3+…+a_4n+1的最大值为．

难度：中等

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2．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且2a_n+S_n=An²+Bn+C．
（1）当A=B=0，C=1时，求a_n；
（2）若数列{a_n}为等差数列，且A=1，C=-2．
①设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和；
②设c_n=
Tn-6
4n
，若不等式c_n≥
m
8
对任意n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}前n项和为S_n，且满足3S_n-4a_n+2=0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，T_n为{b_n}的前n项和，求证：
n
k=1
1
T k
＜2．

难度：中等

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4．已知等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=-10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）求数列{
an
2n-1
}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足4a_n-3S_n=2，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=
1
2
a_n-4n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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6．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=1-
1
2n
，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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7．已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n，其前n项和为S_n，若（n-1）²≤m（S_n-n-1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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8．若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=9，且a_n+1=a

2
n
+2a_n，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（a_n+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1），求lgT_n．
（Ⅲ）在（2）的条件下，记b_n=
lgTn
lg(an+1)
，求数列{b_n}的前n项和S_n，并求使S_n＞4030的n的最小值．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1，其中n≥2，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•2^-n，T_n为数列{b_n}的前n项和．
①求T_n的表达式；
②求使T_n＞2的n的取值范围．

难度：中等

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10． 200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h-x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=
ax
ax+2
的图象过点(1，
2
3
)．
（1）求a的值；
（2）化简h(0)+h(
1
9
)+h(
2
9
)+…+h(
8
9
)+h(1)；
（3）设an=h(0)+h(
1
n
)+h(
2
n
)+…+h(
n-1
n
)+h(1)，b_n=
1
4an•an+1
，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n＜2λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

难度：中等

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