知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差数列，a₂，b₂，a₃+2成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=abn，数列{c_n}的前n和为S_n，若
S2n+4n
Sn+2n
＞an+t对所有正整数n恒成立，求常数t的取值范围．

难度：较易

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2．已知等差数列的前三项依次为m，4，3m，前n项和为S_n，且S_k=110．
（1）求m及k的值；
（2）设数列{b_n}的通项b_n=
Sn
n
是等差数列，并求其前n项和T_n．

难度：较易

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3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=16，S₆=36．
（1）求a_n；
（2）设数列{b_n}满足b_n=q^a_n（q∈R，q＞0），T_n=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
，求T_n．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，a_n≠0，a_na_n+1=pS_n+2，其中p为常数．
（1）证明：a_n+2-a_n=p；
（2）是否存在p，使得|a_n|为等差数列？并说明理由．

难度：中等

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5．已知各项均不为零的数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），当n≥2时，a_n，0，S_n•S_n-1成等差数列，其中S_n为数列{a_n}前n项和．
（1）用a表示a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式（用a表示）；
（3）{a_n}中是否存在连续的三项a_k-1，a_k，a_k+1为等差数列？若存在，求出k及对应的a的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}的前n项和S_n，且S_n=2n²+3n；
（1）求它的通项a_n．
（2）若b_n=
1
an•an+1
，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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7．设正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁≠a₂．a_m、a_k、a_n是数列{a_n}中满足a_n-a_k=a_k-a_m的任意项．
（1）求证：m+n=2k；
（2）若
Sm
，
Sk
，
Sn
也成等差数列，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：
1
Sm
+
1
Sn
≥
2
Sk
．

难度：较难

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8．已知数列{a_n}是等差数列，（1+
x
2
）^m（m∈N^*）展开式的前三项的系数分别为a₁，a₂，a₃．
（1）求（1+
x
2
）^m（m∈N^*）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）当n≥2（n∈N^*）时，试猜测
1
an
+
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
an2
与
1
3
的大小并证明．

难度：较难

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9．在△ABC中，BC=4，且sinB，sinA，sinC成等差数列，建立适当的直角坐标系，求点A的轨迹方程．

难度：中等

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10．已知点P_n（a_n，b_n）在直线l：y=2x+1上，P₁为直线l与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=
1
n|P1Pn|
(n≥2)，求
lim
n→∞
(c2+c3+…+cn)的值；
（3）若d_n=2d_n-1+a_n-1（n≥2），且d₁=1，求证：数列{d_n+n}为等比数列，并求{d_n}的通项公式．

难度：中等

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