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          共50条信息

            • 1．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(S_{n}=2a_{n}-n\)．
              \((1)\)求证\(\{a_{n}+1\}\)为等比数列；
              \((2)\)求数列\(\{S_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：中等
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            • 2．
              已知\(q\)和\(n\)均为给定的大于\(1\)的自然数，设集合\(M=\{0,1,2,…,q-1\}\)，集合\(A=\{x|x=x_{1}+x_{2}q+…+x_{n}q^{n-1},x_{i}∈M,i=1,2,…n\}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)当\(q=2\)，\(n=3\)时，用列举法表示集合\(A\)；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(s\)，\(t∈A\)，\(s=a_{1}+a_{2}q+…+a_{n}q^{n-1}\)，\(t=b_{1}+b_{2}q+…+b_{n}q^{n-1}\)，其中\(a_{i}\)，\(b_{i}∈M\)，\(i=1\)，\(2\)，\(…\)，\(n.\)证明：若\(a_{n} < b_{n}\)，则\(s < t\)．
              难度：中等
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            • 3．
              已知等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(s_{n}\)为前\(n\)项和且\(a_{1}+a_{3}=5\)，\(s_{4}=15\)，
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．
              \((2)\)设\(b_{n}=3\log _{2}a_{n}\)，求\(b_{n}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)的值．
              难度：较易
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            • 4．
              已知数列\(\{\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1,a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{a_{n}+2}\)，\(b_{n+1}=(n-λ)( \dfrac {1}{a_{n}}+1)(n∈N^{*}),b_{1}=-λ\)．
              \((1)\)求证：数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}+1\}\)是等比数列；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)是单调递增数列，求实数\(λ\)的取值范围．
              难度：难
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            • 5．
              若数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=-1,a_{n}=2a_{n-1}-1(n∈N^{*},n\geqslant 2)\)．
              \((1)\)求证：数列\(\{a_{n}-1\}\)是等比数列，并求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(b_{n}=\log _{2}(1-a_{n})\)，若数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n+1}b_{n}}\}(n∈N^{*})\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证：\(T_{n} < 1\)．
              难度：较易
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            • 6．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)满足：\({{S}_{n}}=1-{{a}_{n}}\)．

              \((1)\)求\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

              \((2)\)设\({{c}_{n}}=4{{a}_{n}}+1\)，求数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．

              难度：较难
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            • 7．
              数字 \(1,2,3,\cdots ,n\ \ (n\geqslant 2)\) 的任意一个排列记作 \(({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}})\) ，设 \({{S}_{n}}\) 为所有这样的排列构成的集合． 集合\({{A}_{n}}=\{({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}})\in {{S}_{n}}| \)任意整数\(i,j,1\leqslant i < j\leqslant n\) ，都有\({{a}_{i}}-i\leqslant {{a}_{j}}-j\}\) ；集合\({{B}_{n}}=\{({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}})\in {{S}_{n}}| \)任意整数\(i,j,1\leqslant i < j\leqslant n\) ，都有\({{a}_{i}}+i\leqslant {{a}_{j}}+j\}\) ．
              \((\)Ⅰ\()\)用列举法表示集合\({{A}_{3}}\) ，\({{B}_{3}}\) ；
              \((\)Ⅱ\()\)求集合\({{A}_{n}}\bigcap {{B}_{n}}\) 的元素个数；

              \((\)Ⅲ\()\)记集合\({{B}_{n}}\)的元素个数为\({{b}_{n}}\)\(.\)证明：数列\(\{{{b}_{n}}\}\)是等比数列．

              难度：难
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            • 8．
              已知正项数列\(\{a_{n}\}\)，\(a_{1}=1\)，\(a_{n}=a_{n+1}^{2}+2a_{n+1}\)
              \((\)Ⅰ\()\)求证：数列\(\{\log _{2}(a_{n}+1)\}\)为等比数列：
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=n1og_{2}(a_{n}+1)\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，求证：\(1\leqslant S_{n} < 4\)．
              难度：中等
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            • 9．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}= \begin{cases} \dfrac {1}{2}a_{n},n{为偶数} \\ a_{n}+1,n{为奇数}\end{cases}\)，若\(b_{n}=a_{2n-1}-1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等比数列；
              \((\)Ⅱ\()\)若数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，求\(S_{2n}\)．
              难度：较易
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            • 10．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}=t(S_{n}-a_{n}+1)(t\)为常数，且\(t\neq 0\)，\(t\neq 1)\)．
              \((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(b_{n}=a_{n}^{2}+S_{n}a_{n}\)，若数列\(\{b_{n}\}\)为等比数列，求\(t\)的值；
              \((3)\)在满足条件\((2)\)的情形下，设\(c_{n}=4a_{n}+1\)，数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若不等式\( \dfrac {12k}{4+n-T_{n}}\geqslant 2n-7\)对任意的\(n∈N^{*}\)恒成立，求实数\(k\)的取值范围．
              难度：难
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