知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a_n=2n，f（n）=
a1+1
a1
×
a2+1
a2
×…×
an+1
an
，g（n）=
n+1
（n∈N^*）．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

难度：中等

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2．各项均为正数的数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，d为常数，已知对∀n，m∈N^*，当n＞m，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d成立
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）探究：命题p：“对∀n，m∈N^*，当n＞m时，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d”是命题q：“数列{a_n}是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；
（3）若正整数n，m，k成等差数列，比较S_n+S_k与2S_m的大小，并说明理由．

难度：较难

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4．（1）求和：S_n=1
1
2
+2
1
4
+3
1
8
+…+(n+
1
2n
)．
（2）a_n=
1
n(n+2)
，n∈N+，求此数列的前n项和S_n．

难度：中等

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5．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求证：
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜1．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=c-
1
an
，设c=
5
2
，bn=
1
an-2
，求数列{b_n}的通项公式．

难度：中等

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7．数列{a_n}的前n项和S_n满足：2S_n=3a_n-6n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=
an
λn
，其中常数λ＞0，若数列{b_n}为递增数列，求λ的取值范围．

难度：中等

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8．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=
2an
2+an
（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）根据（1）中的猜想，用三段论证明数列{
1
an
}是等差数列．

难度：较易

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9．已知在递增等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃是a₁和a₉的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=
1
(n+1)an
，S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在实数m，使得S_n＜m对于任意的n∈N₊恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由．

难度：中等

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10．若{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）均在函数y=
3
2
x2-
1
2
x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求：使得Tn＞
m
20
对所有n∈N^*都成立的最大正整数m．

难度：中等

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